理系と共通の問題です。
第2問
OA=OB=1をみたす二等辺三角形OABにおいて、辺ABを1：3に
内分する点をP、辺OBの中点をQ、直線OPと直線AQの交点をR、
直線BRと辺OAの交点をSとし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ とおく。
直線BSは辺OAと直交しているとする。
(1) ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BS}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(3) 内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を求めよ。
(4) 三角形OABの面積を求めよ。
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【解答】
(1)
メネラウスの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{QB}{OQ}\cdot\frac{AP}{BA}\cdot\frac{RO}{PR}=\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{RO}{PR}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{RO}{PR}=4\end{align*}}$
なので、 
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}=\frac{4}{5}\ \overrightarrow{\sf OP}=\frac{4}{5}\cdot\frac{3\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}}{1+3}=\underline{\ \frac{3\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}}{5}}\end{align*}}$
(2)
チェバの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{SA}{OS}\cdot\frac{PB}{AP}\cdot\frac{QO}{OS}=\frac{SA}{OS}\cdot\frac{3}{1}\cdot\frac{1}{1}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{SA}{OS}=4\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BS}=\overrightarrow{\sf OS}-\overrightarrow{\sf OB}=\underline{\ \frac{3}{4}\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}}\end{align*}}$
(3)
BS⊥OAなので、(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BS}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=\left(\frac{3}{4}\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}\right)\cdot\overrightarrow{\sf a}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{3}{4}|\overrightarrow{\sf a}|^2-\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=\frac{3}{4}|\overrightarrow{\sf a}|^2=\underline{\ \frac{3}{4}}\end{align*}}$
(4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OAB=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\sf a}|^2|\overrightarrow{\sf b}|^2-\left(\overrightarrow{\sf a}\cdot \overrightarrow{\sf b}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{1^2\cdot1^2-\left(\frac{3}{4}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\sqrt7}{8}}\end{align*}}$
(4)で使っている面積の公式は大丈夫ですよね？
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2014/05/29(木) 23:51:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2014（文系）
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