2014神戸大 理系数学５

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【解答】

　(1)

　　　　　　　　


　(2)
　　　△OABを原点を中心に90°回転させた三角形を△OA’B’とすると、
　　　弧BB’は半径OBの円の一部なので、その方程式は
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\sf x^2+y^2=a^2+b^2}$
　　　　　⇔　$\scriptsize\sf{\sf y^2=a^2+b^2-x^2}$
　　　
　　　点Cを$\scriptsize\sf{\sf C(-b,\ 0)}$ とおくと、Vは、
　　　　　　(弧BB’の回転体)－(△OB’Cによる円錐)
　　　として求めることができるので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\int_{-b}^a\left(a^2+b^2-x^2 \right)dx-\frac{1}{3}\cdot a^2\pi\cdot b\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\bigg[\left(a^2+b^2\right)x-\frac{1}{3}x^3\bigg]_{-b}^a-\frac{\pi}{3}\ a^2b\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left(a^2+b^2\right)\left(a+b \right)-\frac{\pi}{3}\left(a^3+b^2 \right)-\frac{\pi}{3}\ a^2b\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi}{3}\left(2a^3+2a^2b+3ab^2+2b^3 \right)}\end{align*}}$


　(3)
　　　(2)に$\scriptsize\sf{\sf b=1-a}$ を代入すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{\pi}{3}\left\{2a^3+2a^2\left(1-a\right)+3a\left(1-a\right)^2+2\left(1-a\right)^3 \right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{^pi}{3}\left(a^3+2a^2-3a+2 \right)\end{align*}}$　　　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dV}{da}=\frac{\pi}{3}\left(3a^2+4a-3\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{3}\left(a-\frac{-2-\sqrt{13}}{3}\right)\left(a-\frac{-2+\sqrt{13}}{3}\right)\end{align*}}$
　　　となり、a＞0なので、Vの増減は次のようになる。

　　　　　　　　

　　　よって、Vが最小になるときのaの値は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=\frac{-2+\sqrt{13}}{3}}\end{align*}}$　　……(i)
　　　である。
　　　ここで割り算の筆算を用いると、Vの式は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{\pi}{3}\left\{\underline{\left(3a^2+4a-3\right)}\left(\frac{1}{3}a+\frac{2}{9}\right)-\frac{26}{9}a+\frac{8}{3} \right\}\end{align*}}$
　　　と変形することができる。
　　　これに(i)を代入すると、下線部=0となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_{max}=\frac{\pi}{3}\left(-\frac{26}{9}\cdot\frac{-2+\sqrt{13}}{3}+\frac{8}{3}\right)=\underline{\ \frac{124-26\sqrt{13}}{81}\ \pi}\end{align*}}$



　　最後の計算がイヤですねぇ(笑)