第3問
空間において、原点Oを通らない平面$\small\sf{\alpha}$ 上に一辺の長さ1の正方形
があり、その頂点を順にA、B、C、Dとする。このとき、以下の問いに
答えよ。
(1) ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) OA=OB=OCのとき、ベクトル
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}+\overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$
が、平面$\small\sf{\alpha}$ と垂直であることを示せ。
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【解答】
(1)
四角形ABCDは正方形なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}=\overrightarrow{\sf DC}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OD}=\underline{\ \overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OB}}\end{align*}}$
(2)
OA=OB=OCおよび、AB=BC=1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|=|\overrightarrow{\sf OB}|=|\overrightarrow{\sf OC}|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf BA}-\overrightarrow{\sf BO}|^2=|\overrightarrow{\sf OB}|^2=|\overrightarrow{\sf BC}-\overrightarrow{\sf BO}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf BA}|^2-2\overrightarrow{\sf BA}\cdot\overrightarrow{\sf BO}+|\overrightarrow{\sf BO}|^2=|\overrightarrow{\sf OB}|^2=|\overrightarrow{\sf BC}|^2-2\overrightarrow{\sf BC}\cdot\overrightarrow{\sf BO}+|\overrightarrow{\sf BO}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1-2\overrightarrow{\sf BA}\cdot\overrightarrow{\sf BO}=1-2\overrightarrow{\sf BC}\cdot\overrightarrow{\sf BO}=0\end{align*}}$ ……①
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}=\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}+\overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$
とおくと、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}=2\left(\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OC}\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}\cdot\overrightarrow{\sf BA}=2\left(\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OC}\right)\cdot\overrightarrow{\sf BA}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left(\overrightarrow{\sf BA}+\overrightarrow{\sf BC}-2\overrightarrow{\sf BO}\right)\cdot\overrightarrow{\sf BA}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left(|\overrightarrow{\sf BA}|^2+\overrightarrow{\sf BC}\cdot\overrightarrow{\sf BA}-2\overrightarrow{\sf BO}\cdot\overrightarrow{\sf BA}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left(1-2\overrightarrow{\sf BO}\cdot\overrightarrow{\sf BA}\right)\end{align*}}$ ←BA=1、BA⊥BCより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}\cdot\overrightarrow{\sf BC}=2\left(\overrightarrow{\sf BA}+\overrightarrow{\sf BC}-2\overrightarrow{\sf BO}\right)\cdot\overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left(|\overrightarrow{\sf BC}|^2+\overrightarrow{\sf BC}\cdot\overrightarrow{\sf BA}-2\overrightarrow{\sf BO}\cdot\overrightarrow{\sf BC}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left(1-2\overrightarrow{\sf BO}\cdot\overrightarrow{\sf BC}\right)\end{align*}}$ ←BC=1、BA⊥BCより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$ ←①より
以上より、OE⊥ABかつOE⊥ACとなので、OE⊥$\scriptsize\sf{\alpha}$ となり、
題意は示された。
他にもいろいろな解法が考えられますが、
OA=OB=OCをうまく使うためには、始点をBにするのがミソです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2014/05/15(木) 23:54:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2014
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