2014神戸大 理系数学２

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【解答】

　(1)
　　　$\scriptsize\sf{\sf a^2+b^2=(n^2-m^2)^2+(2mn)^2}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\sf =n^4+2m^2n^2+m^4}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\sf =(n^2+m^2)^2}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\sf =c^2}$

　(2)
　　　(1)より、この三角形は長さcの辺を斜辺とする直角三角形
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}ab=mn\left(n-m\right)\left(n+m\right)\end{align*}}$　　……①
　　　また、内接円の半径がrなので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}r\left(a+b+c \right)=\frac{1}{2}r\left( 2n^2+2mn\right)=rn\left(n+m\right)\end{align*}}$　　……②
　　　①、②より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf mn\left(n-m\right)\left(n+m\right)=rn\left(n+m\right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r=\underline{\ m\left(n-m\right)}\end{align*}}$


　(3)
　　　rが素数のとき、(2)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\sf m=1}$ 　または　$\scriptsize\sf{\sf n-m=1}$
　　　である。

　　　(ⅰ) $\scriptsize\sf{\sf m=1}$ のとき
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\sf n-m=r\ \ \Leftrightarrow\ \ n=r+1}$
　　　　　なので、②より　$\scriptsize\sf{\sf S=\underline{r(r+1)(r+2)}}$

　　　(ⅱ) $\scriptsize\sf{\sf n-m=1}$ のとき
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\sf m=r\ ,\ \ n=r+1}$
　　　　　なので、②より　$\scriptsize\sf{\sf S=\underline{r(r+1)(2r+1)}}$


　(4)
　　　(3)の(ⅰ)の場合
　　　　　$\scriptsize\sf{\sf r(r+1)(r+2)}$ は連続3整数の積なので、
　　　　　Sは6の倍数である。

　　　(3)の(ⅱ)の場合
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\sf 2r+1=(r+2)+(r-1)}$
　　　　　より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\sf S=r(r+1)(r+2)+(r-1)r(r+1)}$
　　　　　と変形できる。
　　　　　$\scriptsize\sf{\sf r(r+1)(r+2)\ ,\ \ (r-1)r(r+1)}$ は、ともに
　　　　　連続3整数の積なので、Sは6の倍数である。




　　(4)は、「連続3整数の積は6である」ことを使うと楽ですね。
　　これに気づかなくても、rを6（または3）で割った余りで場合分けを
　　すれば問題ないと思います。