2014神戸大 理系数学１

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【解答】

　(1)
　　　f(x)の導関数は、
　　　　　　　　$\scriptsize{\sf f'(x)=e^x+xe^x-2x-a}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize{\sf f'(0)=e^0-a=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{a=2}}$


　(2)
　　　(1)より
　　　　　　　　$\scriptsize{\sf f(x)=xe^x-x^2-ax}$
　　　　　　　　$\scriptsize{\sf f'(x)=e^x+xe^x-2x-a=(x+1)(e^x-2)}$
　　　となるので、f(x)の増減は次のようになる。

　　　　　　　

　　　よって、
　　　　　　$\scriptsize{\sf x=-1}$ のとき極小値 $\scriptsize{\sf f(-1)=1-e^{-1}}$
　　　　　　$\scriptsize{\sf x=\log 2}$ のとき極大値 $\scriptsize{\sf f\left(\log 2\right)=-\left(\log 2\right)^2}$
　　　をとる。


　(3)
　　　2曲線の式を連立させると、
　　　　　　　　$\scriptsize{\sf xe^x=x^2+2x+b}$
　　　　　⇔　　$\scriptsize{\sf xe^x-x^2-2x=b}$
　　　　　⇔　　$\scriptsize{\sf f(x)=b}$
　　　となるので、2曲線の共有点の個数は、
　　　曲線$\scriptsize{\sf y=f(x)}$ と直線$\scriptsize{\sf y=b}$ の共有点の個数と一致する。
　　　　　　　　$\scriptsize{\sf -1\lt \log 2\lt 1}$
　　　であり、
　　　　　　　　$\scriptsize{\sf f(-1)=1-e^{-1}\lt 0\lt e-3=f(1)}$
　　　なので、
　　　　　　　$\scriptsize{\sf b\lt -(\log 2)^2\ ,\ \ 1-e^{-1}\lt b}$ のとき0個
　　　　　　　$\scriptsize{\sf b=-(\log 2)^2\ \ ,\ \ e-3\lt b\leqq 1-e^{-1}}$ のとき1個
　　　　　　　$\scriptsize{\sf -(\log 2)^2\lt b\leqq e-3}$ のとき2個

　　　　　　　　　




　　例年通り、標準的な問題です。