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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014京都大 理系数学5



第5問

  自然数a、bはどちらも3で割り切れないが、a3+b3は81で割り切れる。
  このようなa、bの組(a,b)のうち、a2+b2の値を最小にするものと、
  そのときのa2+b2の値を求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2014/05/04(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都大 理系 2014
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  4. | コメント:4
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コメント

はじめまして。
すっきりした 分かりやすい解答ですね。たいへん参考になりました。

「これが最小になるのは、N=1のときである」の「これ」は(27^2)(N^2)/2であり、N=1がa^2+b^2が最小値をとるための必要条件かどうか明確でないので、
a^2+b^2=365が最小値であることを明記したほうが良いのではないでしょうか?

N≧2のときa^2+b^2≧(27^2)(2^2)/2=729>365 となり最小値を取ることはない。 など
  1. 2014/05/05(月) 08:52:31 |
  2. URL |
  3. IT #c6Cm64Jo
  4. [ 編集 ]

Re: タイトルなし

はじめまして。
ご指摘ありがとうございます。この部分は自分でも少しモヤッとしていたところです。
なるほど、おっしゃるようにN=1のときとN≧2のときを分けて議論すると、きれいに書けますね。
勉強になります。
また何かありましたら、よろしくお願いします。
  1. 2014/05/06(火) 15:27:47 |
  2. URL |
  3. シケタキオア #-
  4. [ 編集 ]

別解

制限時間内に完璧な答案が書ける受験生は、数学科や医学科を志望の極わずかな受験生だけでしょうね。

私も、かなりの時間(制限時間オーバー)で下記のような解答を考えましたが、青木先生の方法がスッキリしていいですね。
(私の解答)
以下においてk,l,m,m',n,c,d、定数1、定数2は整数を表す。

a^3+b^3は81で割り切れるので、a^3+b^3=81n (n≧1)とおける。
一般に(3k+1)^3=3m+1、(3k-1)^3=3m'-1であり
a,bはいずれも3の倍数でないことから、a=3c+1、b=3d-1,またはa=3d-1 ,b=3c+1とおける (c≧0、d≧1)

a=3c+1、b=3d-1のとき,
a^3+b^3=(3c+1)^3+(3d-1)^3=27c^3+27c^2+9c+1+27d^3-27d^2+9d-1=81n
よって,3c^3+3c^2+c+3d^3-3d^2+d=9n
左辺整理して(c+d)(3(c^2-cd+d^2)+3(c-d)+1)=9n

3(c^2-cd+d^2)+3(c-d)+1は3で割り切れないので、c+dは9の倍数、よってc+d=9k (k≧1)とおける

k≧2のとき c+d≧18 よって c≧9またはd≧10
 c≧9 のとき a'=3(c-9)+1,bも条件を満たし,a'^2+b^2<a^2+b^2 である。
 d≧10のとき a,b'=3(d-9)-1も条件を満たし,a^2+b'^2<a^2+b^2 である。

したがってa^2+b^2が最小となるとき、c+d=9でなければならない。
このとき、d=9-c、0≦c≦8
 a^2+b^2=(3c+1)^2+(3(9-c)-1)^2
=9c^2+6c+9(9-c)^2-6(9-c)+定数1
=18(c-(25/6))^2+定数2
cは0以上8以下の整数なので、a^2+b^2が最小となるのはc=4のとき,
 このときd=5, a=13,b=14で、a^2+b^2=13^2+14^2=365

a=3d-1 ,b=3c+1のとき同様に、a=14,b=13、a^2+b^2=365
  1. 2014/05/06(火) 16:31:54 |
  2. URL |
  3. IT #c6Cm64Jo
  4. [ 編集 ]

Re: 別解

私も初めは、同じ方法でc+d=9kと導いたんですが、
その後がなかなか書きにくい感じでしたので、別の方法を考えたら、
たまたまキレイにいっただけです。

k≧2の場合で、a’やb’を使うあたりが上手いですね。
参考になります。
  1. 2014/05/06(火) 23:55:50 |
  2. URL |
  3. シケタキオア #-
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