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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014京都大 文系数学1



第1問

  0≦θ<90°とする。xについての4次方程式
       橿原 学習塾 青木ゼミ
  は虚数解を少なくとも1つ持つことを示せ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2014/04/28(月) 23:54:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都大 文系 2014
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  4. | コメント:3
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コメント

別解

少し天下り的ですがθの値を直接考えない別解を考えました。

DB<0ならば 二次方程式Bは虚数解を持つ
DB≧0ならば
(tanθ)^2-3={(sinθ)^2-3(cosθ)^2}/(cosθ)^2
={1-4(cosθ)^2}/(cosθ)^2≧0 
よって  1-4(cosθ)^2≧0
 このとき (cosθ)^2≦1/4かつcosθ≦1/2
 よって DA/4=(cosθ)^2+cosθ-1≦-1/4<0
 二次方程式Aは虚数解を持つ

したがって二次方程式A,Bのうち少なくともどちらか一方は虚数解を持つ。
  1. 2014/05/06(火) 16:59:34 |
  2. URL |
  3. IT #c6Cm64Jo
  4. [ 編集 ]

不等号の向きが逆では?

たびたび失礼します。
DB/4=(tanθ-√3)(tanθ+√3)<0 の不等号は、≧の記入ミスではないでしょうか?
  1. 2014/05/06(火) 17:36:13 |
  2. URL |
  3. IT #c6Cm64Jo
  4. [ 編集 ]

Re: 別解


なるほど。

>  このとき (cosθ)^2≦1/4かつcosθ≦1/2
>  よって DA/4=(cosθ)^2+cosθ-1≦-1/4<0


ここの流れが美しいですね。参考にさせていただきます。

不等号の向きは、おっしゃるとおり逆でしたので、修正しておきました。
  1. 2014/05/06(火) 23:50:51 |
  2. URL |
  3. シケタキオア #-
  4. [ 編集 ]

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