2014名古屋大 理系数学３

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　円C_n（n＝1，2，3，…）の中心をO_nとし、
　　　x軸との接点をA_nとする。
　　　また、O_n+1からO_nに下ろした垂線の足をHとすると、
　　　　　　　　O_nO_n+1＝r_n＋r_n+1
　　　　　　　　O_nH＝r_n－r_n+1
　　　なので、△O_nO_n+1Hに三平方の定理を用いると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A_{n}A_{n+1}=O_{n+1}H=\sqrt{(r_n+r_{n+1})^2-(r_n-r_{n+1})^2}=2\sqrt{r_n\ r_{n+1}}\end{align*}}$

　　　　　　　　　

　 　　　　　　　
　　　任意のnに対して
　　　　　　　　A_nA_n+1＝A_nA_n+1＋A_n+1A_n+2
　　　が成り立つので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt{r_n\ r_{n+1}}=2\sqrt{r_n\ r_{n+2}}+2\sqrt{r_{n+1}\ r_{n+2}}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{\sqrt{r_{n+2}}}=\frac{1}{\sqrt{r_{n+1}}}+\frac{1}{\sqrt{r_{n}}}\end{align*}}$　　←両辺÷ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt{r_n\ r_{n+1}\ r_{n+2}}\ (\ne 0)\end{align*}}$　　　　
　　　となり、題意は示された。


　(２)
　　　n＝1，2，3，…… に対して、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf R_n=\frac{1}{\sqrt{r_n}}\end{align*}}$
　　　とおくと、(１)より
　　　　　　R₁＝R₂＝1、　R_n+2＝R_n+1＋R_n　……(#)
　　　となる。

　　　ここで、xについての方程式 x²＝x＋1の2解を
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha=\frac{1+\sqrt5}{2}\ \ ,\ \ \beta=\frac{1-\sqrt5}{2}\end{align*}}$　
　　　とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＋$\scriptsize\sf{\beta}$ ＝1、　$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ ＝－1　　……(*)
　　　(#)の漸化式は、この$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\beta}$ を用いて
、
　　　　　　　　R_n+2－$\scriptsize\sf{\alpha}$ R_n+1＝$\scriptsize\sf{\beta}$ (R_n+1－$\scriptsize\sf{\alpha}$ R_n)
　　　と変形できるので、数列{R_n+1－$\scriptsize\sf{\alpha}$ R_n}は等比数列をなす。
　　　　　　　　R_n+1－$\scriptsize\sf{\alpha}$ R_n＝(R₂－$\scriptsize\sf{\alpha}$ R₁)$\scriptsize\sf{\beta}$ ^n-1
　　　　　　　　　　　　　　　　＝(1－$\scriptsize\sf{\alpha}$ )$\scriptsize\sf{\beta}$ ^n-1　　←(#)より
　　　　　　　　　　　　　　　　＝$\scriptsize\sf{\beta}$ ⁿ　　←(*)より

　　　同様に、
　　　　　　　　R_n+1－$\scriptsize\sf{\beta}$ R_n＝$\scriptsize\sf{\alpha}$ ⁿ　
　　　なので、これら2式の差をとると、
　　　　　　　　($\scriptsize\sf{\alpha}$ －$\scriptsize\sf{\beta}$ )R_n＝$\scriptsize\sf{\alpha}$ ⁿ－$\scriptsize\sf{\beta}$ ⁿ
　　　となり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf R_n=\frac{1}{\alpha -\beta}\ \alpha^n-\frac{1}{\alpha -\beta}\ \beta^n\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{\sqrt{r_n}}=\frac{1}{\sqrt5}\ \left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\frac{1}{\sqrt5}\ \left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \alpha=\frac{1+\sqrt5}{2}\ \ ,\ \ \beta=\frac{1-\sqrt5}{2}\ \ ,\ \ s=\frac{1}{\sqrt5}\ \ ,\ \ t=-\frac{1}{\sqrt5}}\end{align*}}$
　　　とすると、題意の等式は成り立つ。


　(３)
　　　求める極限をLとすると、(２)より
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{k^n\ \left(R_n\right)^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5}{k^n\left(\alpha^n-\beta^n\right)^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5}{\left(k\ \alpha^2\right)^n\left\{1-\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n\right\}^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5}{\left(k\ \alpha^2\right)^n\left(1-0\right)^2}\ \ \ \ \left(\because 0<\frac{\beta}{\alpha}<1 \right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{5}{\lim_{n\rightarrow\infty}\left(k\ \alpha^2\right)^n}\end{align*}}$
　　　これが正の数に収束するのは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k\ \alpha^2=1\ \ \Leftrightarrow\ \ k=\frac{1}{\alpha^2}=\left(\frac{2}{1+\sqrt5}\right)^2=\underline{\ \frac{3-\sqrt5}{2}}\end{align*}}$
　　　のときであり、その極限値は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\frac{5}{1}=\underline{\ 5}\end{align*}}$
　　　である。



　　(１)、(２)は、今年の筑波大学に同じような問題が出題されています。
　　　　　　http://aozemi.blog.fc2.com/page-21.html