2014名古屋大 理系数学２

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【解答】

　　　まず、直線Lの方程式は、　　　　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-t^2=\frac{(t+1)^2-t^2}{(t+1)-t}\left(x-t\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=\left(2t+1\right)x-t^2-t\ }\end{align*}}$
　　　であり、直線x＝aとLの交点のy座標をf(t)とすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (t)=\left(2t+1\right)a-t^2-t\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-t^2+\left(2a-1\right)t+a\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left(t-\frac{2a-1}{2}\right)^2+\frac{4a^2+1}{4}\end{align*}}$

　　　ここで、f(t)の最大値をM(a)とおくと、
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\ \ \frac{2a-1}{2}<-1\ \ \Leftrightarrow\ \ a<-\frac{1}{2}\end{align*}}$　のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M(a)=f\ (-1)=-a\end{align*}}$

　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \ -1\leqq \frac{2a-1}{2}\leqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{1}{2}\leqq a\leqq \frac{1}{2}\end{align*}}$　のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M(a)=f\ \left(\frac{2a-1}{2}\right)=\frac{4a^2+1}{4}\end{align*}}$

　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (iii)\ \ 0<\frac{2a-1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}\lt a\end{align*}}$　のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M(a)=f\ (1)=a\end{align*}}$


　　　一方、f(t)の最小値をm(a)とおくと、
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (I)\ \ \frac{2a-1}{2}<-\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ a<0\end{align*}}$　のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m(a)=f\ (1)=a\end{align*}}$

　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (II)\ \ -\frac{1}{2}\leqq \frac{2a-1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq a\end{align*}}$　のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m(a)=f\ (-1)=-a\end{align*}}$

　　　f(t)は、
　　　　　　　　m(a)≦f(t)≦M(a)
　　　を満たすので、aをxで置き換えた式
　　　　　　　　m(x)≦y≦M(x)
　　　で表される領域が、－1≦t≦0に対応する
　　　直線PQが通過する領域である。(右上図)


　　　また、点P、Qは放物線y＝x²上の点であり、
　　　この放物線は下に凸なので、線分PQは常に
　　　領域y≧x²内に含まれる。

　　　
　　　よって、－1≦t≦0に対応する線分PQが
　　　通過する領域は右下図のようになる。
　　　（境界線上の点を含む）



　　　また、この図形の面積をSとすると、図の対称性より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=2\int_0^{\frac{1}{2}}\left\{\left(x^2+\frac{1}{4}\right)-x^2\right\}dx+2\int_{\frac{1}{2}}^1\left(x-x^2 \right)dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left[\frac{1}{4}\ x \right]_0^{\frac{1}{2}}+2\left[\frac{1}{2}\ x^2-\frac{1}{3}\ x^3 \right]_{\frac{1}{2}}^1\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{5}{12}}\end{align*}}$




　　この手の問題を解いたことのない受験生には少し難しいでしょうね。