2014名古屋大 文系数学１

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【解答】

　(１)
　　　PからCへ引いた接線の接点をA、Bとする。
　　　Aの座標を(x₁，y₁)　とおくと、AにおけるCの接線は
　　　　　　　　x₁x＋y₁y＝1
　　　と表せる。これが点Pを通るので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_1a=1\ \ \Leftrightarrow\ \ x_1=\frac{1}{a}\end{align*}}$ ．
　　　同様に、Bの座標を(x₂，y₂)　とおくと、　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_2=\frac{1}{a}\end{align*}}$
　　　となるので、直線ABとx軸との交点Qは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ Q\left(\frac{1}{a}\ ,\ 0\right)\ }\end{align*}}$
　　　である。


　(２)
　　　C上の点Rの座標をR(s，t)とおくと、
　　　　　　　　s²＋t²＝1　　……(#)
　　　である。
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PR=\sqrt{\left(s-a\right)^2+t^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{a^2-2as+1}\end{align*}}$　　←(#)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf QR=\sqrt{\left(s-\frac{1}{a}\right)^2+t^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\frac{1}{a^2}-\frac{2s}{a}+1}\end{align*}}$　　←(#)より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{a}\sqrt{a^2-2as+1}\end{align*}}$　　←a＞0より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{a}\ PR\end{align*}}$　
　　　より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{PR}{QR}=a\ }\end{align*}}$ （一定）


　(３)
　　　QR＝bとおくと、(２)より、PR＝ab と表せ、
　　　∠PRQ＝90より、△PQRに三平方の定理を用いると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(a-\frac{1}{a}\right)^2=b^2+a^2b^2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b^2=\frac{\left(a^2-1\right)^2}{a^2\left(a^2+1\right)}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b=\frac{a^2-1}{a\sqrt{a^2+1}}\ \ \ \ \left(\because a>1\right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ PR=ab=\underline{\frac{a^2-1}{\sqrt{a^2+1}}\ }\end{align*}}$

　　　R(s，t)とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PR^2=\left(s-a\right)^2+t^2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\left(a^2-1\right)^2}{a^2+1}=-2as+a^2+1\end{align*}}$　　←(#)より
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s=\frac{\left(a^2-1\right)^2-\left(a^2+1\right)^2}{-2a\left(a^2+1\right)}=\frac{2a}{a^2+1}\end{align*}}$　　
　　　(#)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2=1-\left(\frac{2a}{a^2+1}\right)^2=\frac{a^4-2a^2+1}{\left(a^2+1\right)^2}=\left(\frac{a^2-1}{a^2+1}\right)^2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=\pm\frac{a^2-1}{a^2+1}\ \ \ \left(\because a>1\right)\end{align*}}$
　　　となるので、題意を満たすようなRの座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ R\left(\frac{2a}{a^2+1}\ ,\ \frac{a^2-1}{a^2+1}\right)\ }\end{align*}}$
　　　である。




　　(１)は、△OAP∽△OQAに気づくと一発です！