2014東京医科歯科大 数学３

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【解答】

　(１)
　　　題意より　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\int_a^{ax}\left(\frac{1}{u}+\frac{1}{k}\cdot u^{\frac{1}{k}-1}\right)du\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[\log |u|+u^{\frac{1}{k}}\bigg]_a^{ax}\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log x+\left(ax\right)^{\frac{1}{k}}-\left(a\right)^{\frac{1}{k}}\end{align*}}$
　　　なので、第一次および第二次の導関数は
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{1}{x}+\frac{a}{k}\left(ax\right)^{\frac{1}{k}-1}>0\ \ \ \ \left(\because a,k,x>0\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{a^2}{k}\left( \frac{1}{k}-1\right)\left(ax\right)^{\frac{1}{k}-2}<0\ \ \ \ \left(\because a,x>0\ \ ,\ \ k>1\right)\end{align*}}$
　　　となる。また、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +\infty}\ f\ (x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\left\{\log x+\left(ax\right)^{\frac{1}{k}}-\left(a\right)^{\frac{1}{k}} \right\}=+\infty\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}\ f\ (x)=\lim_{x\rightarrow +0}\left\{\log x+\left(ax\right)^{\frac{1}{k}}-\left(a\right)^{\frac{1}{k}} \right\}=-\infty\end{align*}}$
　　　なので、y＝f(x)のグラフの概形は下図のようになる。

　　　　　　　


　(２)
　　　(１)より、f(1)＝0であり、f(x)はx＞1で単調に増加するので、
　　　中間値の定理より、f(p)＝S（＞0）となるpが、p＞1の範囲に
　　　ただ1つ存在する。


　(３)
　　　(１)より、f”(x)＜0なので、f’(x)は単調に減少し、
　　　c＞1となる任意のcに対して、
　　　　　　　　f'(1)＞f’(c)　　……(A)
　　　が成り立つ。
　　　また、(２)より
　　　　　　　　f(p)＝S （p＞1）、　f(1)＝0
　　　であり、f(x)は、区間1≦x≦pで微分可能なので、
　　　平均値の定理より　　　　　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(c)=\frac{f\ (p)-f\ (1)}{p-1}=\frac{S}{p-1}\end{align*}}$　　……(B)
　　　を満たすcが1＜c＜pの範囲に存在する。
　　　(A)、(B)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{S}{p-1}\lt f '(1)=1+\frac{a^{\frac{1}{k}}}{k}=\frac{1}{b}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ bS\lt p-1\ \ \ \ \left(\because 1\lt p\ ,\ b>0 \right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ 1+bS\lt p\ }\end{align*}}$


　　　一方、p＞1より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (p)=\int_a^{ap}\frac{k+\sqrt[\sf k]{\sf u}}{ku}\ du\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf >\int_a^{ap}\frac{k+\sqrt[\sf k]{\sf a}}{ku}\ du\ \ \ \ \left(\because a\leqq u\leqq ap\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_a^{ap}\frac{1}{bu}\ du\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{b}\bigg[\ \log |u|\bigg]_a^{ap}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{b}\ \log p\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ S>\frac{1}{b}\ \log p\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ bS>\log p\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ e^{bS}> p\ \ \ \ \left(\because e>1\right)\end{align*}}$

　　　以上より、題意の不等式は示された。



　　(３)は、もう少し簡単な解法がありそうですね（笑）