第１問
自然数nに対し、3個の数字1、2、3から重複を許してn個並べた
もの(x1，x2、…，xn)の全体の集合をSnとおく。Snの要素
(x1，x2、…，xn)に対し、次の2つの条件を考える。
条件C12：1≦i＜j≦nである整数i、jの組で、xｉ＝1、xｊ＝2を
満たすものが少なくとも1つ存在する。
条件C123：1≦i＜j＜k≦nである整数i、j、kの組で、xｉ＝1、
xｊ＝2、xk＝3を満たすものが少なくとも1つ存在する。
例えば、S4の要素(3，1，2，2)は条件C12は満たすが、条件C123
は満たさない。
Snの要素(x1，x2、…，xn)のうち、条件C12を満たさないものの
個数をf(n)、条件C123を満たさないものの個数をg(n)とおく。
このとき、以下の各問いに答えよ。
(１) f(4)とg(4)を求めよ。
(２) f(n)をnを用いて表せ。
(３) g(n＋1)をg(n)とf(n)を用いて表せ。
(４) g(n)をnを用いて表せ。
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【解答】
S1の要素(1)、(2)、(3)はいずれも条件C12、C123を
満たさないので、
f(1)＝g(1)＝3 ……(A)
(２)
Snの要素(x1，x2、…，xn)のうちで、
(ア) 数字1を含まないものは、2n個あり、
これらはすべて条件C12を満たさない。
(イ) 数字1を含み、条件C12を満たさないものは、
f(n)－2n個ある。
Sn+1の要素(x1，x2、…，xn，xn+1)のうちで、
・(x1，x2、…，xn)が上の条件(ア)を満たす場合、
xn+1が1、2、3いずれの数字であっても、
(x1，x2、…，xn，xn+1)は条件C12を満たさない。
・(x1，x2、…，xn)が上の条件(イ)を満たす場合、
xn+1が1または3であれば、(x1，x2、…，xn，xn+1)は
条件C12を満たさない。
よって、関係式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (n+1)=3\cdot 2^n+2\left\{f\ (n)-2^n\right\}=2f\ (n)+2^n\end{align*}}$
が成り立ち、両辺を2n+1で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{f\ (n+1)}{2^{n+1}}=\frac{f\ (n)}{2^n}+\frac{1}{2}\end{align*}}$
と変形できるので、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{\frac{f\ (n)}{2^n} \right\}\end{align*}}$ は等差数列をなす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{f\ (n)}{2^n}=\frac{f\ (1)}{2^1}+\frac{1}{2}\left(n-1\right)=\frac{1}{2}\ n+1\end{align*}}$ ←(A)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ f\ (n)=2^n\left(\frac{1}{2}\ n+1\right)\ }\end{align*}}$
となる。
(３)
Snの要素(x1，x2、…，xn)のうちで、
(ウ) 条件C12を満たないものは、f(n)個あり、
これらはすべて条件C123も満たさない。
(エ) 条件C12は満たすが、条件C123を満たないものは、
g(n)－f(n)個ある。
Sn+1の要素(x1，x2、…，xn，xn+1)のうちで、
・(x1，x2、…，xn)が上の条件(ウ)を満たす場合、
xn+1が1、2、3いずれの数字であっても、
(x1，x2、…，xn，xn+1)は条件C123を満たさない。
・(x1，x2、…，xn)が上の条件(エ)を満たす場合、
xn+1が1または2であれば、(x1，x2、…，xn，xn+1)は
条件C123を満たさない。
よって、関係式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (n+1)=3f\ (n)+2\left\{g\ (n)-f\ (n)\right\}=\underline{\ 2g\ (n)+f\ (n)}\end{align*}}$
が成り立つ。
(４)
(２)、(３)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (n+1)=2g\ (n)+2^n\left(\frac{1}{2}\ n+1\right)\end{align*}}$
となり、両辺を2n+1で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{g\ (n+1)}{2^{n+1}}=\frac{g\ (n)}{2^n}+\frac{1}{4}\left(n+2\right)\end{align*}}$
を得る。n≧2のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{g\ (n)}{2^{n}}=\frac{g\ (1)}{2^1}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{4}\left(k+2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{2}+\frac{1}{4}\left\{\frac{1}{2}\ n\left(n-1\right)+2\left(n-1\right) \right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{8}\left(n^2+3n+8\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ g\ (n)=\frac{2^n}{8}\left(n^2+3n+8\right)=\underline{\ 2^{n-3}\left(n^2+3n+8\right)}\end{align*}}$
となり、これは、n＝1のときも成り立つ。
(１)
(２)、(４)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (4)=2^4\left(\frac{1}{2}\cdot 4+1\right)=\underline{\ }48\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (4)=2^{4-3}\left(4^2+3\cdot 4+8\right)=\underline{\ 72}\end{align*}}$
うまく漸化式をつくりましょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/16(金) 01:07:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京医科歯科大 2014
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