2014一橋大 数学５

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　1～3回目の硬貨によって、点Pは下図のように移動する。
　　　（表が出たとき青矢印、裏が出たとき赤矢印）

　　　　　　　　

　　　よって、a₃＝0となる確率は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{8}=\underline{\ \frac{1}{4}}\end{align*}}$


　(２)
　　　a₄＝1となるのは、次の2つの場合がある。
　　　　　(A) a₃＝0で4回目に表が出る
　　　　　(B) a₃＝－1で4回目に裏が出る
　　　よって、a₄＝1となる確率は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2}=\underline{\ \frac{3}{16}}\end{align*}}$


　(３)
　　　a_nが最大になるのは、n回すべてが表のときで、
　　　その値はnである。
　　　一方、a_nが最小になるのは、1～n－1回目にすべて表
　　　が出た後、n回目に裏が出る場合で、その値は1－nである。
　　　よって、a_nのとり得る値の範囲は、
　　　　　　　　1－n≦a_n≦n　　……(#)
　　　である。

　　　a_n＝n－3となる確率をp_nとおく。

　　　　

　　　a_n＝n－3となるのは、次の2つの場合がある。
　　　　　(A) a_n-1＝n－4 （確率p_n-1）で、n回目に表が出る
　　　　　(B) a_n-1＝3－nで、n回目に裏が出る

　　　(B)の場合について、
　　　　・a_n-1＝3－nになるためには、
　　　　　　　　　a_n-2＝2－n または a_n-2＝n－3
　　　　　である必要があるが、(#)より a_n-2＝n－3
　　　　・a_n-2＝n－3になるためには、
　　　　　　　　　a_n-3＝n－4 または a_n-3＝3－n
　　　　　である必要があるが、(#)より a_n-3＝n－4
　　　　・a_n-3＝n－4になるためには、
　　　　　　　　　a_n-4＝n－5 または a_n-4＝4－n
　　　　　である必要があるが、(#)より a_n-4＝n－5
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
　　　　・a₂＝1になるためには、
　　　　　　　　　a₁＝0 または a₁＝－1
　　　　　である必要があるが、(#)より a₁＝0
　　　　・a₁＝0になるためには、1回目に裏が出ればよい。

　　　よって、裏表表表……表表表表裏裏 の順に出れば(B)の場合が起こる。

　　
　　　(A)、(B)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=\frac{1}{2}\ p_{n-1}+\frac{1}{2^n}\end{align*}}$
　　　が成り立ち、両辺に2ⁿをかけると
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2^{n}\ p_n=2^{n-1}p_{n-1}+1\end{align*}}$　　
　　　となるので、数列{2ⁿp_n}は等差数列となる。
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^{n}\ p_n=2^{3}p_{3}+(n-3)=8\cdot\frac{1}{4}+(n-3)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ p_n=\frac{n-1}{2^{n}}}\end{align*}}$





　　(３)が難しいでしょうね。