第４問
半径1の球が直円錐に内接している。この直円錐の底面の半径を
rとし、表面積をSとする。
(１) Sをrを用いて表せ。
(２) Sの最小値を求めよ。
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【解答】
(１)
直円錐の頂点をP、底面の中心をQ、
内接球の中心をOとする。
右図は、この直円錐および内接球を
3点O、P、Qを通る平面で切断したときの
断面図である。
この図において、OP＝hとおくと、
△OPT∽△APQより、AP＝rhとなり、
OQ＝OT＝1なので、
△APQに三平方の定理を用いると、
r2＋(1＋h)2＝(rh)2
⇔ (r2－1)h2－2h－(r2＋1)＝0 ．
r2－1＞0より、これを解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h=\frac{1\pm\sqrt{1+\left(r^2-1\right)\left(r^2+1\right)}}{r^2-1}\ \ \Leftrightarrow\ \ h=\frac{r^2+1}{r^2-1}\ \ (>0)\end{align*}}$
となるので、母線の長さは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP=\frac{\left(r^2+1\right)r}{r^2-1}\end{align*}}$
である。直円錐の側面は、半径がAPで、弧の長さが
平面の円周と等しい扇形なので、側面積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot AP\cdot 2\pi\ r=\frac{\left(r^2+1\right)r^2}{r^2-1}\ \pi\end{align*}}$
となる。
よって、表面積Sは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{\left(r^2+1\right)r^2}{r^2-1}\ \pi+\pi\ r^2=\underline{\ \frac{2r^4}{r^2-1}\ \pi}\end{align*}}$
(２)
R＝r2－1（＞0)とおくと、
r4＝(r2)2＝(R＋1)2
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{2\left(R+1\right)^2}{R}\ \pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left(R+ \frac{1}{R}+2\right)\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \geqq 2\left(2\sqrt{R\cdot \frac{1}{R}}+2 \right)\pi\end{align*}}$ ←相加・相乗平均
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =8\pi\end{align*}}$
より、Sの最小値は、 8$\scriptsize\sf{\pi}$ である。
これは、相加・相乗平均の等号が成立するときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf R=\frac{1}{R}\ \ \Leftrightarrow\ \ R=r^2-1=1\ (>0)\ \ \Leftrightarrow\ \ r=\sqrt2\ (>0)\end{align*}}$
のときである。
(２) 理系ならいろいろできますが、分数形なので相加相乗でしょ。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/14(水) 01:09:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .一橋大 2014
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