第３問
円C：x2＋y2＝1上の点Pにおける接線をLとする。点(1，0)を通りLと
平行な直線をmとする。直線mと円Cの(1，0)以外の共有点をP’とする。
ただし、mが直線x＝1のときはP’は(1，0)とする。
円C上の点P(s，t)から点P’(s’，t’)を得る上記の操作をTと呼ぶ。
(１) s’、t’をそれぞれsとtの多項式として表せ。
(２) 点Pに操作Tをn回繰り返して得られる点をPnとおく。Pが$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{\sqrt3}{2}\ ,\ \frac{1}{2}\right)\end{align*}}$ の
とき、P1、P2、P3を図示せよ。
(３) 正の整数nについて、Pn＝Pとなるような点Pの個数を求めよ。
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【解答】
(１)
まず、P(s，t)は円C上の点なので、
s2＋t2＝1 ……(#)
また、接線Lの方程式は、sx＋ty＝1 であり、
t≠0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{s}{t}\ x+\frac{1}{t}\end{align*}}$
と変形できるので、直線mの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{s}{t}\left(x-1\right)\end{align*}}$
となる。C、mの2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+\frac{s^2}{t^2}\left(x-1\right)^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(s^2+t^2\right)x^2-2s^2x+s^2-t^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-2s^2x+2s^2-1=0\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=1\ ,\ 2s^2-1\end{align*}}$
直線mと円Cの(1，0)以外の共有点がP’なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ s'=2s^2-1\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t'=-\frac{s}{t}\left\{ \left(2s^2-1 \right)-1\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{s}{t}\cdot\left(-2t^2\right)\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ =2st\ }\end{align*}}$
これらは、t＝0のときも成り立つ。
(２)
(#)よりs、tは$\scriptsize\sf{\theta}$ （0≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜2$\scriptsize\sf{\pi}$ ）を用いて
s＝cos$\scriptsize\sf{\theta}$ 、 t＝sin$\scriptsize\sf{\theta}$
と表すことができる。
よって、(１)の結論に倍角公式を適用すると、
s’＝2cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝cos2$\scriptsize\sf{\theta}$
t’＝2cos$\scriptsize\sf{\theta}$ sin$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝sin2$\scriptsize\sf{\theta}$
となる。
よって、1回の操作Tによって、
点(cos$\scriptsize\sf{\theta}$ ，sin$\scriptsize\sf{\theta}$ )が点(cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ ，sin2$\scriptsize\sf{\theta}$ )に移るので、
点P(cos$\scriptsize\sf{\theta}$ ，sin$\scriptsize\sf{\theta}$ )に対して、Pn(cos2n$\scriptsize\sf{\theta}$ ，sin2n$\scriptsize\sf{\theta}$ )
となる。
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(\frac{\sqrt3}{2}\ ,\ \frac{1}{2}\right)=\left(\cos\frac{\pi}{3}\ ,\ \sin\frac{\pi}{3}\right)\end{align*}}$
に対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_1\left(\cos\frac{2\pi}{3}\ ,\ \sin\frac{2\pi}{3}\right)=\left(\frac{1}{2}\ ,\ \frac{\sqrt3}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_2\left(\cos\frac{4\pi}{3}\ ,\ \sin\frac{4\pi}{3}\right)=\left(-\frac{1}{2}\ ,\ \frac{\sqrt3}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_3\left(\cos\frac{8\pi}{3}\ ,\ \sin\frac{8\pi}{3}\right)=\left(-\frac{1}{2}\ ,\ -\frac{\sqrt3}{2}\right)\end{align*}}$
となるので、これらを図示すると右図のようになる。
(３)
(２)より、
Pn＝P
⇔ (cos2n$\scriptsize\sf{\theta}$ ，sin2n$\scriptsize\sf{\theta}$ )＝(cos$\scriptsize\sf{\theta}$ ，sin$\scriptsize\sf{\theta}$ )
⇔ 2n$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝$\scriptsize\sf{\theta}$ ＋2m$\scriptsize\sf{\pi}$ （m：整数）
⇔ $\scriptsize\sf{\theta}$ ＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2m}{2^n-1}\ \pi\ \ \ \ \left(\because n>0 \right)\end{align*}}$
となり、0≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜2$\scriptsize\sf{\pi}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq\frac{2m}{2^n-1}\ \pi< 2\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq m< 2^n-1\end{align*}}$
これを満たす整数mは2n－1個あるので、
題意を満たすような点Pの個数は
2n－1個
である。
三角関数で表すことに気づかないと難しいでしょうねぇ。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/14(水) 01:08:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .一橋大 2014
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