2014東京工業大 数学５

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【解答】

　(２)
　　　Cの導関数は、y’=3x²+2x なので、
　　　点P_kにおけるCの接線L_kの方程式は、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_k:\ y-\left(x_k^3+x_k^2+1 \right)=\left(3x_k^2+2x_k\right)\left(x-x_k \right)\end{align*}}$
　　　であり、Cの方程式と連立させると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^3+x^2+1-\left(x_k^3+x_k^2+1 \right)=\left(3x_k^2+2x_k\right)\left(x-x_k \right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x-x_k \right)\left(x^2+x_kx+x_k^2 \right)+\left(x-x_k \right)\left(x+x_k \right)=\left(3x_k^2+2x_k\right)\left(x-x_k \right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x-x_k \right)\left\{x^2+ \left(x_k+1 \right)x-2x_k^2-x_k\right\}=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x-x_k \right)^2\left(x+ 2x_k+1 \right)=0\end{align*}}$ ．
　　　L_kとCの交点のうちでP_kと異なる点がP_k+1なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_{k+1}=-2x_k-1\end{align*}}$　　……(A)
　　　となり、この式は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_{k+1}+\frac{1}{3}=-2\left(x_k+\frac{1}{3}\right)\end{align*}}$
　　　と変形できる。よって、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{x_k+\frac{1}{3}\right\}\end{align*}}$ は等比数列となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_k+\frac{1}{3}=\left(-2\right)^k\left(x_0+\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{3}\cdot \left(-2\right)^k\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x_k=\frac{4}{3}\cdot \left(-2\right)^k-\frac{1}{3}}\end{align*}}$


　(１)
　　　C：y=f(x)、　L_k：y=g_k(x) とおくと、
　　　CとL_kの位置関係は下図のようになる。

　　　　　　　

　　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{k+1}=\int_{x_k}^{x_{k+1}}\bigg|f\ (x)-g_k(x) \bigg|dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\int_{x_k}^{x_{k+1}}\bigg\{f\ (x)-g_k(x)\bigg\}dx \right|\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\int_{x_k}^{x_{k+1}}\left(x-x_k \right)^2\left(x+ 2x_k+1 \right)dx \right|\end{align*}}$　　←(２)と同様の計算
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\int_{x_k}^{x_{k+1}}\left(x-x_k \right)^2\bigg\{\left(x-x_k\right)+\left(3x_k+1 \right)\bigg\}dx \right|\end{align*}}$　　←ここがミソ！！
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\int_{x_k}^{x_{k+1}}\bigg\{\left(x-x_k \right)^3+\left(3x_k+1 \right)\left(x-x_k \right)^2\bigg\}dx \right|\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\bigg[\frac{1}{4}\left(x-x_k \right)^4+\frac{1}{3}\left(3x_k+1 \right)\left(x-x_k \right)^3\bigg]_{x_k}^{x_{k+1}} \right|\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\frac{1}{4}\left(x_{k+1}-x_k \right)^4+\frac{1}{3}\left(3x_k+1 \right)\left(x_{k+1}-x_k \right)^3 \right|\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\frac{1}{4}\left(-3x_k-1 \right)^4+\frac{1}{3}\left(3x_k+1 \right)\left(-3x_k-1 \right)^3 \right|\end{align*}}$　　←(A)より
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\frac{1}{4}\left(3x_k+1 \right)^4-\frac{1}{3}\left(3x_k+1 \right)^4 \right|\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{12}\left(3x_k+1 \right)^4\end{align*}}$
　　　これにk=0を代入すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\frac{1}{12}\left(3x_0+1 \right)^4=\frac{1}{12}\cdot 4^4=\underline{\ \frac{64}{3}}\end{align*}}$


　(３)
　　　(１)、(２)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{k+1}=\frac{1}{12}\left[3\cdot\left\{\frac{4}{3}\cdot \left(-2\right)^k-\frac{1}{3} \right\}+1 \right]^4=\frac{64}{3}\cdot 16^k\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{S_k}=\frac{3}{64}\cdot \left(\frac{1}{16}\right)^{k-1}\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{S_k}=\frac{3}{64}\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1-\left(\frac{1}{16}\right)^n}{1-\left(\frac{1}{16}\right)}=\underline{\ \frac{1}{20}}\end{align*}}$





　　今年の東工大は、例年に比べて易しいですね。