第１問
3以上の奇数nに対して、anとbnを次のように定める。
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{n-1}(k-1)k(k+1)\ \ ,\ \ \ b_n=\frac{n^2-1}{8}\end{align*}}$
(１) anとbnはどちらも整数であることを示せ。
(２) an－bnは4の倍数であることを示せ。
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【解答】
(１)
連続3整数の積は6の倍数 ……(A) なので、
(k－1)k(k+1)は整数Nk（k=1、2、3、…）を用いて、
(k－1)k(k+1)=6Nk
と表すことができる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{n-1} 6N_k=\sum_{k=1}^{n-1} N_k=N_1+N_2+\ldots +N_{n-1}\end{align*}}$
となるので、anは整数である。
一方、nは3以上の奇数なので、自然数mを用いて
n=2m+1 ……(*)
と表すことができる。
これを用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=\frac{\left(2m+1\right)^2-1}{8}=\frac{1}{2}m\left(m+1\right)\end{align*}}$
と変形できる。
ここで、連続2整数の積は2の倍数なので、自然数Mを用いて
m(m+1)=2M
と表すことができ、これより、bn=Mとなるので、
bnも整数である。
(２)
(*)よりanは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{2m}\left(k^3-k\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left\{\frac{1}{4}\cdot (2m)^2(2m+1)^2-\frac{1}{2}\cdot 2m(2m+1)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}m(2m+1)\left\{m(2m+1)-1\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}m(m+1)(2m+1)(2m-1)\end{align*}}$
と変形できるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n-b_n=\frac{1}{6}m(m+1)(2m+1)(2m-1)-\frac{1}{2}m\left(m+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}m(m+1)\left\{(2m+1)(2m-1)-3 \right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}(m-1)m(m+1)\cdot 4(m+1)\end{align*}}$ ．
ここで(A)より、整数Nmを用いて
(m－1)m(m+1)=6Nm
と表せる。これより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n-b_n=4N_m\left(m+1\right)\end{align*}}$
と変形できるので、an－bnは4の倍数である。
連続するn個の整数の積はn！の倍数になります。
普通に教科書に載っていることなので、わざわざ証明する必要はありません。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/17(土) 01:12:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京工業大 2014
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