第2問
aを自然数（すなわち1以上の整数）の定数とする。白球と赤球が
あわせて1個以上入っている袋Uに対して。次の操作(*)を考える。
(*)袋から球を1個取り出し、
(ⅰ)取り出した球が白球のときは、袋Uの中身が白球a個、
赤球1個となるようにする。
(ⅱ)取り出した球が赤球のときは、その球を袋Uに戻すこと
なく、袋Uの中身はそのままにする。
はじめに袋Uの中に、白球がa+2個、赤球が1個入っているとする。
この袋Uに対して操作(*)を繰り返し行う。
たとえば、1回目の操作で白球が出たとすると、袋Uの中身は白球a個、
赤球1個となり、さらに2回目の操作で赤球が出たとすると、袋Uの中身
は白球a個のみとなる。
n回目に取り出した球が赤球である確率をpnとする。ただし、袋Uの中
の個々の球の取り出される確率は等しいものとする。
(1) p1、p2を求めよ。
(2) n≧3に対してpnを求めよ。
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【解答】
(1)
はじめ袋Uには白球a+2個と赤球1が入っているので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p_1=\frac{1}{a+3}}\end{align*}}$
赤球を取り出した次の操作では必ず白球を取り出すので、
2回目に赤球を取り出すためには、白→赤の順に取り出せばよい。
1回目に白球を取り出したとき、袋Uには白球a個、赤球1個が
入っているので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_2=\frac{a+2}{a+3}\cdot\frac{1}{a+1}=\underline{\ \frac{a+2}{\left(a+1\right)\left(a+3\right)}}\end{align*}}$
(2)
3回目に赤球を取り出すためには、
白→白→赤 または 赤→白→赤
の順に取り出せばよい。
1回目以降の操作で
白球を取り出したあと、袋Uには白球a個、赤球1個
赤球を取り出したあと、袋Uには白球a個
が残ることになるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_3=\frac{a+2}{a+3}\cdot\frac{a}{a+1}\cdot\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a+3}\cdot 1\cdot\frac{1}{a+1}=\frac{a^2+3a+1}{\left(a+1\right)^2\left(a+3\right)}\end{align*}}$ ……(#)
n+1回目に赤球を取り出すためには、n回目に白球を取り出す
必要があるので、pnとpn+1の間には
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1}=\left(1-p_n\right)\cdot\frac{1}{a+1}\end{align*}}$
という関係式が成り立つ。この漸化式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1}-\frac{1}{a+2}=-\frac{1}{a+1}\left(p_n-\frac{1}{a+2}\right)\end{align*}}$
と変形できるので、数列$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{p_n-\frac{1}{a+2}\right\}\end{align*}}$ は等比数列をなす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n}-\frac{1}{a+2}=\left(-\frac{1}{a+1}\right)^{n-3}\left(p_3-\frac{1}{a+2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_{n}=\left(-\frac{1}{a+1}\right)^{n-3}\left(p_3-\frac{1}{a+2}\right)+\frac{1}{a+2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_{n}=\left(-\frac{1}{a+1}\right)^{n-3}\left\{\frac{a^2+3a+1}{\left(a+1\right)^2\left(a+3\right)}-\frac{1}{a+2}\right\}+\frac{1}{a+2}\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{a+2}\left\{1- \frac{1}{a+3}\left(-\frac{1}{a+1}\right)^{n-1}\right\}}\end{align*}}$
n≧3という条件が面倒ですね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/21(水) 01:14:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京大 文系 2014
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