2014東京大 文系数学１

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【解答】

　(1)
　　　f(x)は
　　　　　　f(x)=－2{x－(2t－3)}²+t³－9t²+15t
　　　と変形できるので、x=2t－3のとき最大値
　　　　　　　t³－9t²+15t
　　　をとる。

　(2)
　　　(1)より、
　　　　　　　g(t)=t³－9t²+15t
　　　　　　　g’(t)=3t²－18t+15=3(t－1)(t－5)
　　　となるので、与えられたtの範囲におけるg(t)の増減は
　　　次のようになる。

　　　　　　　

　　　ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\left(-\frac{1}{\sqrt2}\right)-g(5)=-\frac{18+31\sqrt2}{4}-(-25)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{82-31\sqrt2}{4}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt{6724}-\sqrt{1922}}{4}>0\end{align*}}$
　　　なので、g(t)は
　　　　　　　　　　t=5のとき、最小値－25
　　　をとる。





　　いくら文系とはいえ、東大にしては易しいですねぇ。