第3問
uを実数とする。座標平面上の2つの放物線
C1: y=－x2+1
C2: y=(x－u)2+u
を考える。C1とC2が共有点をもつようなuの値の範囲は、ある実数
a、bにより、a≦u≦bと表される。
(1) a、bの値を求めよ。
(2) uがa≦u≦bを満たすとき、C1とC2の共有点をP1(x1，y1)、
P2(x2，y2)とする。ただし、共有点が1点のみのときは、P1とP2
は一致し、ともにその共有点を表すとする。
2|x1y－xy1|
をuの式で表せ。
(3) (2)で得られるuの式をf(u)とする。定積分
$\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I\sf =\int_a^bf\ (u)\ du\end{align*}}$
を求めよ。
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【解答】
(1)
C1、C2の2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -x^2+1=\left(x-u\right)^2+u\ \ \Leftrightarrow\ \ 2x^2-2ux+u^2+x-1=0\ \ \ldots\ldots (A)\end{align*}}$
となり、これが実数解を持てばよいので、判別式をDとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D/4=u^2-2\left(u^2+u-1\right)\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ u^2+2u-2\leqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -1-\sqrt3\leqq u\leqq -1+\sqrt3\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=-1-\sqrt3\ \ ,\ \ b=-1+\sqrt3}\end{align*}}$
(2)
題意よりx1、x2は(A)の2解なので、解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_1+x_2=u\ \ ,\ \ x_1x_2=\frac{1}{2}\left(u^2+u-1\right)\ \ \ldots\ldots (B)\end{align*}}$
また、P1、P2はC1上の点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y_1=x_1^{\ 2}+1\ \ ,\ \ y_2=x_2^{\ 2}+1\ \ \ \ldots\ldots (C)\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\left|x_1y_2-x_2y_1\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left|x_1\left(x_2^{\ 2}+1\right)-x_2\left(x_1^{\ 2}+1\right)\right|\end{align*}}$ ←(C)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left|\left(x_1x_2+1\right)\left(x_1-x_2\right)\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left|x_1x_2+1\right|\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left|\frac{1}{2}\left(u^2+u-1\right)+1 \right|\sqrt{u^2-2\left(u^2+u-1\right)}\end{align*}}$ ←(B)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|u^2+u+1 \right|\sqrt{-u^2-2u+2}\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf u^2+u+1=\left(u+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\left|x_1y_2-x_2y_1\right|=\underline{\ \left(u^2+u+1 \right)\sqrt{-u^2-2u+2}}\end{align*}}$
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I\sf =\int_a^b\left(u^2+u+1 \right)\sqrt{-u^2-2u+2}\ du\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{-1-\sqrt3}^{-1+\sqrt3}\left\{\left(u+1\right)^2-\left(u+1\right)+1\right\}\sqrt{3-\left(u+1\right)^2}\ du\end{align*}}$
なので、v=u+1と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I\sf =\int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}\left(v^2-v+1\right)\sqrt{3-v^2}\ dv\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\int_{0}^{\sqrt3}\left(v^2+1\right)\sqrt{3-v^2}\ dv\end{align*}}$ ．
さらに
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf v=\sqrt3\ \cos p\end{align*}}$
と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dv}{dp}=-\sqrt3\ \sin p\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I\sf =-2\int_{\pi/2}^{0}\left(3\cos^2p+1\right)\sqrt{3-3\cos^2p}\ \cdot\sqrt3\ \sin p\cdot dp\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =6\int_0^{\pi/2}\left(3\sin^2p\cos^2p+\sin^2p\right)\ dp\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =6\int_0^{\pi/2}\left(\frac{3}{4}\sin^24p+\sin^2p\right)\ dp\end{align*}}$ ←sinの倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =6\int_0^{\pi/2}\left(\frac{3}{4}\cdot\frac{1-\cos 4p}{2}+\frac{1-\cos 2p}{2}\right)\ dp\end{align*}}$ ←sinの半角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =3\left[\frac{3}{4}\left(p-\frac{\sin 4p}{4}\right)+\left(p-\frac{\sin 2p}{2}\right)\right]_0^{\pi/2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{21}{8}\pi}\end{align*}}$
v=u+1の置換に気づかないと計算死にますｗｗ
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/21(水) 01:09:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京大 理系 2014
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