青木ゼミ青木2014東京大　理系数学１

2014東京大　理系数学１

第1問

　　1辺の長さが1の正方形を底面とする四角柱OABC－DEFGを考える。
　　3点P、Q、Rを、それぞれ辺AE、辺BF、辺CG上に、4点O、P、Q、R
　　が同一平面上にあるようにとる。四角形OPQRの面積をSとおく。また、
　　∠AOPを$\small\sf{\alpha}$ 、∠CORを$\small\sf{\beta}$ とおく。

　(1) Sを$\small\sf{\tan\alpha}$ と$\small\sf{\tan\beta}$ を用いて表せ。

　(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \alpha+\beta=\frac{\pi}{4}\ ,\ \ S= \frac{7}{6}\end{align*}}$ であるとき、$\small\sf{\tan\alpha+\tan\beta}$ の値を求めよ。さらに、
　　　 $\small\sf{\alpha\leqq\beta}$ のとき、$\small\sf{\tan\alpha}$ の値を求めよ。

　　　　　　
解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(1)
　　　Oを原点とするxyz座標空間において、
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}\ ,\ \overrightarrow{\sf OG}\end{align*}}$ をそれぞれx軸、y軸、z軸の正方向と考えると、
　　　　　　　　A(1，0，0)、 C(0，1，0)
　　　であり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{AP=OA\tan\alpha=\tan\alpha}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\sf CR=OC\tan\beta=\tan\beta}$
　　　より　　　　　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\left(1,0,\tan\alpha \right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OR}=\left(0,1,\tan\beta \right)\end{align*}}$
　　　となる。
　　　また、4点O、P、Q、Rは同一平面上にあるので、
　　　　　　平面OAED//平面CBFG より OP//RQ
　　　　　　平面OCGD//平面ABFE より OR//PQ
　　　よって、四角形OPQRは平行四辺形なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\sqrt{|\overrightarrow{\sf OP}^2|\overrightarrow{\sf OR}|^2-\left(\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OR}\right)^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\left(1+\tan^2\alpha\right)\left(1+\tan^2\beta\right)-\left(\tan\alpha\tan\beta \right)^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \sqrt{1+\tan^2\alpha+\tan^2\beta}}\end{align*}}$

　(2)
　　　tanの加法定理より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\tan\alpha +\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}=\tan\left(\alpha +\beta\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=1\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \tan\alpha\tan\beta=1-\left(\tan\alpha +\tan\beta\right)\end{align*}}$　　……(＃)
　　　また(1)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\sqrt{1+\tan^2\alpha+\tan^2\beta}=\frac{7}{6}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 36\left(1+\tan^2\alpha+\tan^2\beta\right)=49\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 36\left\{1+\left(\tan\alpha+\tan\beta\right)^2-2\tan\alpha\tan\beta\right\}=49\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 36\left\{\left(\tan\alpha+\tan\beta\right)^2+2\left(\tan\alpha+\tan\beta\right)-1\right\}=49\end{align*}}$　　←(#)より
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 36\left(\tan\alpha+\tan\beta\right)^2+72\left(\tan\alpha+\tan\beta\right)-85=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \tan\alpha+\tan\beta=-\frac{17}{6}\ ,\ \frac{5}{6}\end{align*}}$
　　　となり、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq\alpha\leqq\frac{\pi}{2}\ ,\ \ 0\leqq\beta\leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \tan\alpha+\tan\beta=\frac{5}{6}\ \ (>0)}\end{align*}}$
　　　である。
　　　これと(#)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\alpha\tan\beta=1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}\end{align*}}$
　　　なので、解と係数の関係を用いると、$\scriptsize\sf{\tan\alpha,\ \tan\beta}$ は、
　　　Xについての二次方程式
　　　　　　　　6X²－5X+1=0
　　　の2解、すなわち
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\frac{1}{2}\ ,\ \frac{1}{3}\end{align*}}$
　　　と一致する。
　　　よって、$\scriptsize\sf{\alpha}$ ≦$\scriptsize\sf{\beta}$ よりtan$\scriptsize\sf{\alpha}$ ≦tan$\scriptsize\sf{\beta}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \tan\alpha=\frac{1}{3}}\end{align*}}$
　　　となる。

　　座標を置くところがミソです。　　

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