2014千葉大 数学11

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\leqq x\leqq\frac{3}{4}\end{align*}}$　　……(A)

　(１)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=f\ (x)\ f\ (1-x)=x^x\ (1-x)^{1-x}\end{align*}}$
　　　とおく。
　　　 範囲(A)内で、両辺＞0なので両辺の自然対数をとると
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log g\ (x)=\log x^x\ (1-x)^{1-x}=x\log x+(1-x)\log (1-x)\end{align*}}$ ．
　　　両辺をxで微分すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{g\ '(x)}{g\ (x)}=\log x+x\cdot\frac{1}{x}-\log (1-x)+(1-x)\cdot\frac{-1}{1-x}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log x-\log (1-x)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log \frac{x}{1-x}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ g\ '(x)=g\ (x)\ \log \frac{x}{1-x}=x^x\ (1-x)^{1-x}\log \frac{x}{1-x}\end{align*}}$
　　　となる。
　　　範囲(A)内でg’(x)＝0となるのは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log \frac{x}{1-x}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{x}{1-x}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　のときであり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\left(\frac{1}{4}\right)=g\left(\frac{3}{4}\right)=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{4}}\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt[4]{27}}{4}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\left(\frac{1}{2}\right)=\left\{\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\right\}^2=\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　なので、g(x)の増減は次のようになる。

　　　　　　　　

　　　よって、g(x)は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{1}{4}\ ,\ \frac{3}{4}\end{align*}}$ で最大値 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt[4]{27}}{4}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{1}{2}\end{align*}}$ で最小値 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　をとる。


　(２)　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ (x)=\frac{f\ (x)\ f\ (1-x)\ f\ (a)}{f\ (ax)\ f\ (a(1-x))}\end{align*}}$
　　　とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ (x)=\frac{x^x\ (1-x)^{1-x}\ a^a}{(ax)^{ax}\ \{a(1-x)\}^{a(1-x)}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{x^x\ (1-x)^{1-x}\ a^a}{a^{ax}\ x^{ax}\ a^{a(1-x)}\ (1-x)^{a(1-x)}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{x^x\ (1-x)^{1-x}\ a^a}{a^{a}\ x^{ax}\ (1-x)^{a(1-x)}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{x^x\ (1-x)^{1-x}}{\left\{ x^{x}\ (1-x)^{1-x}\right\}^a}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left\{x^x\ (1-x)^{1-x}\right\}^{1-a}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left\{g\ (x)\right\}^{1-a}\end{align*}}$
　　　となり、xで微分すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ '(x)=(1-a)\left\{g\ (x)\right\}^{-a}g\ '(x)\end{align*}}$ ．

　　　(ⅰ) 0＜a＜1のとき
　　　　　　h(x)の増減は次のようになる。

　　　　　　　　　

　　　　　　よって、h(x)の最小値は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\left(\frac{1}{2}\right)=\left\{g\left(\frac{1}{2}\right)\right\}^{1-a}=\underline{\ \left(\frac{1}{2}\right)^{1-a}}\end{align*}}$

　　　(ⅱ) a＝1のとき　　　　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ (x)=\left\{g\ (x)\right\}^0=1\end{align*}}$
　　　　　　なので、最小値は1

　　　(ⅲ) 1＜aのとき
　　　　　　h(x)の増減は次のようになる。

　　　　　　　　　

　　　　　　よって、h(x)の最小値は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\left(\frac{1}{4}\right)=h\left(\frac{3}{4}\right)=\left\{g\left(\frac{1}{4}\right)\right\}^{1-a}=\underline{\ \left(\frac{\sqrt[4]{27}}{4}\right)^{1-a}}\end{align*}}$




　　(２)はキチンと場合分けしましょう。