第13問
自然数nに対して、和
$\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{n}\end{align*}}$
を考える。
(１) 各自然数nに対して2k≦nを満たす最大の整数kをf(n)で
表すとき、2つの奇数an、bnが存在して
$\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=\frac{a_n}{2^{f\ (n)}\ b_n}\end{align*}}$
と表されることを示せ。
(２) n≧2のときSnは整数にならないことを示せ。
(３) さらに、自然数m、n （m＜n）に対して、和
$\small\sf{\begin{align*} \sf S_{m,n}=\frac{1}{m}+\frac{1}{m+1}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{n}\end{align*}}$
を考える。Sm，nはどんなm、n （m＜n）に対しても整数に
ならないことを示せ。
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【解答】
(１)
1≦k≦nである自然数kは、0≦p(k)≦f(n)を満たす整数p(k)と、
奇数qkを用いて
k＝2p(k)･qk
と表すことができる。
また、n個の奇数の積を
bn＝q1･q2･q3･…･qn ……(A)
とおくと、(A)は明らかに奇数である。
これらを用いてSnを計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=1}^n\ \frac{1}{k}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^n\ \frac{1}{2^{p(k)}\cdot q_k}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^n\ \frac{2^{f(n)-p(k)} \cdot \frac{b_n}{q_k}}{2^{f(n)}\cdot b_n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2^{f(n)}\cdot b_n}\ \sum_{k=1}^n\left\{ 2^{f(n)-p(k)} \cdot \frac{b_n}{q_k}\right\}\end{align*}}$
となる。
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r\ (k)=2^{f(n)-p(k)} \cdot \frac{b_n}{q_k}\end{align*}}$
とおく。題意より、
2f(n)≦n＜2f(n)＋1＝2･2f(n)＜3･2f(n)
なので、f(n)＝p(k)となるようなkは、k＝2f(n) ただ1つである。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r\left(2^{f(n)} \right)=2^{0} \cdot \frac{b_n}{1}=b_n\end{align*}}$
となり、(A)よりこれは奇数である。
一方、k≠2f(n)である残りのn－1個のkに対しては、
p(k)＜f(n) であり、(A)より $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{b_n}{q_k}\end{align*}}$ は整数なので、
r(k)はすべて偶数となる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\sum_{k=1}^n\ r\ (k)=\sum_{k=1}^n\left\{ 2^{f(n)-p(k)} \cdot \frac{b_n}{q_k}\right\}\end{align*}}$
とおくと、anは奇数となる。
以上より、Snは、2つの奇数an、bnを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\frac{a_n}{2^{f\ (n)}\ b_n}\end{align*}}$
と表すことができるので、題意は示された。
(２)
n≧2のとき、f(n)≧1なので、(１)で求めたSnの分母 2f(n)bnは
偶数である。一方、分子のanは奇数なので、分母にある素因数2が
約分できない。
よって、Snは整数とはならない。
(３)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{m,n}=S_n-S_{m-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a_n}{2^{f(n)}\ b_n}-\frac{a_{m-1}}{2^{f(m-1)}\ b_{m-1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a_n-a_{m-1}\ 2^{f(n)-f(m-1)}\cdot\frac{b_n}{b_{m-1}}}{2^{f(n)}\ b_n}\end{align*}}$ ……(B)
(ⅰ) f(n)＞f(m-1)のとき
(A)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{b_n}{b_{m-1}}=q_m\cdot q_{m+1}\cdot\cdot \cdot q_{n} \end{align*}}$
は整数となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{m-1}\ 2^{f(n)-f(m-1)}\cdot\frac{b_n}{b_{m-1}}\end{align*}}$
は偶数である。
(１)よりanは奇数なので、(B)の分子は奇数となる。
よって、(２)と同様に考えると、Snは整数とはならない。
(ⅱ) f(n)＝f(m-1)のとき
2f(n)≦m－1＜m＜n＜2f(n)+1＝2･2f(n) ……(C)
より、
n－m＋1＜2･2f(n)－2f(n)＝2f(n) ……(D)
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{m,n}=\frac{1}{m}+\frac{1}{m+1}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf <\frac{1}{2^{f(n)}}+\frac{1}{2^{f(n)}}+\cdot\cdot\cdot +\frac{1}{2^{f(n)}}\end{align*}}$ ←(C)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{n-m+1}{2^{f(n)}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf <\frac{2^{f(n)}}{2^{f(n)}}\end{align*}}$ ←(D)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1\end{align*}}$ ．
よって、0＜Sn＜1なので、Snは整数とはならない。
書き方が難しいでしょうね……
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/11(日) 01:02:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .千葉大 2014
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