2014千葉大 数学12

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【解答】

　(１)
　　　関数f(t)を　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (t)=e^t-1-t-\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{6}\end{align*}}$
　　　とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(t)=e^t-1-t-\frac{t^2}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(t)=e^t-1-t\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '''(t)=e^t-1\end{align*}}$
　　　となる。
　　　t＞0において常にe^t＞1なので、f'''(t)＞0である。
　　　これとf”(0)＝0より、t＞0で常にf”(0)＞0である。
　　　これとf’(0)＝0より、t＞0で常にf’(0)＞0である。
　　　これとf(0)＝0より、t＞0で常にf(0)＞0である。
　　　以上より、t>0のとき不等式
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^t>1+t+\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6}\end{align*}}$
　　　 が成り立つ。


　(２)
　　　y＝xe^xの導関数は、
　　　　　　　　y’＝e^x＋xe^x＝(x＋1)e^x
　　　となるので、曲線上の点P(p，pe^p)における接線の方程式は
　　　　　　　　y－pe^p＝(p＋1)e^p(x＋p)
　　　であり、これが点(0，a)を通るとき、
　　　　　　　　a－pe^p＝(p＋1)e^p(0＋p)
　　　　　　⇔　a＝－p²e^p　　……(A)
　　　(A)の左辺をg(p)とおくと、
　　　　　　　　g’(p)＝－2pe^p－p²e^p＝－p(p＋2)e^p
　　　となるので、g(p)の増減は次のようになる。

　　　　　　　
　　　
　　　【p→＋∞の極限】
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{p\rightarrow +\infty}\ g\ (p)=-\lim_{p\rightarrow +\infty}p^2e^p=-\infty\end{align*}}$
　　　【p→－∞の極限】
　　　　　t＝p^-1とおくと、p→－∞のときt→＋∞なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{p\rightarrow -\infty}\ g\ (p)=-\lim_{p\rightarrow -\infty}p^2e^p=-\lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{t^2}{e^t}\end{align*}}$
　　　　　ここで(１)より、t＞0のとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^t>1+t+\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6}>\frac{t^3}{6}\ \ \Leftrightarrow\ \ (0<)\ \ \frac{t^2}{e^t}<\frac{6}{t}\end{align*}}$
　　　　　であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty} \frac{6}{t}=0\end{align*}}$ なので、はさみうちの原理より
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{t^2}{e^t}=0\end{align*}}$
　　　　　である。よって
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{p\rightarrow -\infty}\ g\ (p)=0\end{align*}}$
　　　　　となる。
　　　

　　　以上より、y＝g(p)のグラフは右図のようになる。

　　　曲線y＝xe^xにおいて、異なる接点における接線が
　　　一致することはないので、点(0，a)を通る接線の本数は
　　　pについての方程式(A)の異なる実数解の個数に等しい。
　　　すなわち、y＝g(p)のグラフと直線y＝aの共有点の個数に
　　　等しいので
　　　　　　　　a＞0のとき0本
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a<-\frac{4}{e^2}\ ,\ a=0\end{align*}}$ のとき1本
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=-\frac{4}{e^2}\end{align*}}$ のとき2本
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{4}{e^2}\lt a<0\end{align*}}$ のとき3本



　　(１)は有名な問題ですね。
　　(２)で、p→－∞の極限を考えるときに(１)を使います。