2014千葉大 数学７

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【解答】

　　(ⅰ) x＋1＜－1 すなわち x＜－2のとき
　　　　　x≦t≦x＋1のtに対してつねにt＋1＜0なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\int_x^{x+1}\left(-t-1 \right)dt+a\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left[\frac{1}{2}t^2+t \right]_x^{x+1}+a\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-x+a-\frac{3}{2}\end{align*}}$

　　(ⅱ) x≦－1≦x＋1 すなわち －2≦x≦－1 のとき
　　　　　x≦t≦－1のtに対してつねにt＋1≦0、
　　　　　－1≦t≦x＋1のtに対してつねにt＋1≧0　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\int_x^{-1}\left(-t-1 \right)dt+\int_{-1}^{x+1}\left(t+1 \right)dt+a\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left[\frac{1}{2}t^2+t \right]_x^{-1}+\left[\frac{1}{2}t^2+t \right]_{-1}^{x+1}+a\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x^2+3x+a-\frac{5}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+a+\frac{1}{4}\end{align*}}$

　　(ⅲ) －1＜xのとき
　　　　　x≦t≦x＋1のtに対してつねにt＋1＞0なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\int_x^{x+1}\left(t+1 \right)dt+a=x+a+\frac{3}{2}\end{align*}}$
　
　　(ⅰ)～(ⅲ)より、曲線Cは
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x<-\frac{3}{2}\end{align*}}$ の範囲では単調に減少し、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x>-\frac{3}{2}\end{align*}}$ の範囲では単調に増加する。
　　よって、曲線Cがx軸と2個の共有点を持つためには、
　　f(x)の最小値＜0であればよいので、求めるaの値の範囲は
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(-\frac{3}{2}\right)=a+\frac{1}{4}<0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a<-\frac{1}{4}}\end{align*}}$　　
　　である。


　　曲線Cとx軸で囲まれる部分の面積をSとおく。
　　また、C上のx＝－2およびx＝－1に対応する点をA、Bとすると
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\left(-2\ ,\ a+\frac{1}{2} \right)\ \ ,\ \ B\left(-1\ ,\ a+\frac{1}{2} \right)\end{align*}}$
　　である。

　　(ア)A、Bがx軸上またはx軸より上にある場合
　　　　aの値の範囲は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a+\frac{1}{4}<0\leqq a+\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{1}{4}　　　　である。
　　　　曲線Cはx軸と(ⅱ)で求めた放物線の
　　　　部分で交わり（右図）、そのx座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+3x+a+\frac{5}{2}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{-3\pm\sqrt{-4a-1}}{2}\end{align*}}$ ．
　　　　これらをp、q（p＜q）とすると
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_p^q\left\{-\left(x^2+3x+a+\frac{5}{2}\right) \right\}dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\int_p^q\left(x-p\right)\left(x-q\right)dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left(q-p\right)^3\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left(\frac{-3+\sqrt{-4a-1}}{2}-\frac{-3-\sqrt{-4a-1}}{2}\right)^3\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left(\sqrt{-4a-1}\right)^3\end{align*}}$


　(イ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a< -\frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき
　　　A、Bはx軸より下にあるので、曲線Cはx軸と
　　　(ⅰ)、(ⅲ)で求めた直線の部分で交わり（右図）、
　　　そのx座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -x+a-\frac{3}{2}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=a-\frac{3}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x+a+\frac{3}{2}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=-a-\frac{3}{2}\end{align*}}$ ．
　　　S＝赤色の台形＋水色部分 なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\left\{\left(-a-\frac{3}{2}\right)-\left(a-\frac{3}{2} \right)+1 \right\}\left(-a-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{6}\cdot 1^2\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a^2-\frac{1}{12}\end{align*}}$


　(ア)、(イ)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S=\left\{ \begin{array}{ll}\sf \frac{1}{6}\left(\sqrt{-4a-1}\right)^3 & \left(\sf -\frac{1}{4}\lt a\leqq -\frac{1}{2}\right) \\ \sf a^2-\frac{1}{12} & \left(\sf a< -\frac{1}{2}\right) \\\end{array} \right.}\end{align*}}$






　　細かい場合分けに注意しましょう。
　　(ⅰ)、(ⅲ)の半直線はそれぞれ点A、Bで(ⅱ)の放物線と接しています。