2014千葉大 数学６

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【解答】

　　　O(0，0)、A(1，1)、P(cos$\scriptsize\sf{\theta}$ ，sin$\scriptsize\sf{\theta}$ )とおくと、
　　　直線OPの方程式は、y＝(tan$\scriptsize\sf{\theta}$ )x と表されるので、
　　　Pにおける接線をLとすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L:\ y-\sin\theta=-\frac{1}{\tan\theta}\left(x-\cos\theta \right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{1}{\tan\theta}x+\frac{1}{\sin\theta}\end{align*}}$
　　　となる。
　　　Lと直線x＝1との交点をQとすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q\left(1\ ,\ -\frac{1}{\tan\theta}+\frac{1}{\sin\theta} \right)\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AQ=1-\left(-\frac{1}{\tan\theta}+\frac{1}{\sin\theta}\right)=1+\frac{1}{\tan\theta}-\frac{1}{\sin\theta}\end{align*}}$ ．
　　　また、Lと直線y＝1との交点をRとすると、
　　　∠AQR＝$\scriptsize\sf{\theta}$ より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AR=AQ\tan\theta=\tan\theta +1-\frac{1}{\cos\theta}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf QR=\frac{AQ}{\cos\theta}=\frac{1}{\cos\theta} +\frac{1}{\sin\theta}-\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AQ+AR+QR\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(1+\frac{1}{\tan\theta}-\frac{1}{\sin\theta}\right)+\left(\tan\theta +1-\frac{1}{\cos\theta}\right)+\left(\frac{1}{\cos\theta} +\frac{1}{\sin\theta}-\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}\right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2+\tan\theta+\frac{1}{\tan\theta}-\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2+\frac{\sin\theta}{\cos\theta}+\frac{\cos\theta}{\sin\theta}-\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2+\frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta-1}{\sin\theta\cos\theta}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\end{align*}}$
　　　となるので、△AQRの3辺の長さの和は一定である。



　　　また、△AQRの面積をSとすると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{\tan\theta}-\frac{1}{\sin\theta}\right)\left(\tan\theta +1-\frac{1}{\cos\theta}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin\theta+\cos\theta-1}{\sin\theta}\cdot\frac{\sin\theta+\cos\theta-1}{\cos\theta}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(\sin\theta+\cos\theta-1\right)^2}{2\sin\theta\cos\theta}\end{align*}}$

　　　ここで、Sの分子をtとおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\sin\theta+\cos\theta-1=\sqrt2\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)-1\end{align*}}$
　　　と変形できるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲において
　　　tのとり得る値の範囲は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt t\leqq \sqrt2 -1\end{align*}}$　　……①
　　　である。
　　　また、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (t+1)^2=\left(\sin\theta+\cos\theta \right)^2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t^2+2t+1=\sin^2\theta+\cos^2\theta+2\sin\theta\cos\theta\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t^2+2t=2\sin\theta\cos\theta\end{align*}}$
　　　なので、Sは
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{t^2}{t^2+2t}=\frac{t}{t+2}=1-\frac{2}{t+2}\end{align*}}$
　　　と変形できる。
　　　よって、t＋2が最大になるときSが最大になるので、
　　　①の範囲で考えると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\sqrt2\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)-1=\sqrt2-1\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=1\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \theta+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\ \ \ \ \left(\because 0<\theta<\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ t=\frac{\pi}{4}}\end{align*}}$
　　　のときにSは最大となる。





　　後半でSの最大値を求めるところはいろいろな考え方がありますが、
　　うまい具合に分子と分母を同時に処理することを考えましょう。