第３問
pは奇数である素数とし、N＝(p＋1)(p＋3)(p＋5)とおく。
(１) Nは48の倍数であることを示せ。
(２) Nが144の倍数になるようなpの値を、小さい順に5つ求めよ。
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【解答】
(１)
pは3以上の奇数なので、自然数kを用いて、
p＝2k＋1
と表すことができる。
よって、
N＝(2k＋2)(2k＋4)(2k＋3)
＝8(k＋1)(k＋2)(k＋3) ……(*)
となり、連続3整数の積(k＋1)(k＋2)(k＋3)は6の倍数
なので、Nは48の倍数である。
(２)
(*)より、Nが144の倍数となるためには、
(k＋1)(k＋2)(k＋3)が18（＝32･2）の倍数であるばよい。
k＋1、k＋2、k＋3の2つ以上が3の倍数になることはないので、
k＋1、k＋2、k＋3いずれかが32の倍数になる必要がある。
そのような場合を小さい方から順に書きあげていくと、
k＋3＝9 ⇔ k＝6 ⇔ p＝13（素数）
k＋2＝9 ⇔ k＝7 ⇔ p＝15
k＋1＝9 ⇔ k＝8 ⇔ p＝17（素数）
k＋3＝18 ⇔ k＝15 ⇔ p＝31（素数）
k＋2＝18 ⇔ k＝16 ⇔ p＝33
k＋1＝18 ⇔ k＝17 ⇔ p＝35
k＋3＝27 ⇔ k＝24 ⇔ p＝49
k＋2＝27 ⇔ k＝25 ⇔ p＝51
k＋1＝27 ⇔ k＝26 ⇔ p＝53（素数）
k＋3＝36 ⇔ k＝33 ⇔ p＝67（素数）
となるので、題意を満たすpは
13、17、31、53、61
である。
連続3整数の積が6の倍数になることは、証明抜きに使ってもいいでしょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/10(土) 01:08:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .千葉大 2014
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