第２問
△ABCにおいて、∠A、∠B、∠Cの大きさをそれぞれA、B、Cと
するとき、次の等式が成り立つとする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sin A}{5}=\frac{\sin B}{3}\end{align*}}$
また、A、B、Cのうち最も大きな角は120°であるとする。このとき、
cosA、cosB、cosCの値をそれぞれ求めよ。
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【解答】
BC＝a、CA＝b、AB＝cとおくと、正弦定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\end{align*}}$
と与えられた等式より a：b＝5：3 となるので、
正の実数kを用いて
a＝5k、 b＝3k ……(*)
と表すことができる。
(ⅰ) A＝120°のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos A=-\frac{1}{2}\end{align*}}$
であり、余弦定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (5k)^2=c^2+(3k)^2-2\cdot c\cdot 3k\ \cos 120^{\circ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ c=\frac{-3+\sqrt{73}}{2}\ k\ \ (>0)\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos B=\frac{(5k)^2+\left(\frac{-3+\sqrt{73}}{2}\ k\right)^2-(3k)^2}{2\cdot 5K\cdot\frac{-3+\sqrt{73}}{2}\ k }=\frac{73-3\sqrt{73}}{10\left(\sqrt{73}-3 \right)}=\frac{\sqrt{73}}{10}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos C=\frac{(5k)^2+(3k)^2-\left(\frac{-3+\sqrt{73}}{2}\ k\right)^2}{2\cdot 5K\cdot 3k }=\frac{\sqrt{73}+9}{20}\end{align*}}$
(ⅱ) B＝120°のとき
(*)より、a＞bなのでA＞Bとなるが、
これは、A＜180－120＝60°であることに矛盾する。
よって、この場合はあり得ない。
(ⅲ) C＝120°のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos C=-\frac{1}{2}\end{align*}}$
であり、余弦定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c^2=(5k)^2+(3k)^2-2\cdot 5k\cdot 3k\ \cos 120^{\circ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ c=7k\ \ (>0)\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos B=\frac{(5k)^2+(7k)^2-(3k)^2}{2\cdot 5K\cdot 7k }=\frac{13}{14}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos A=\frac{(7k)^2+(3k)^2-(5k)^2}{2\cdot 3K\cdot 7k }=\frac{11}{14}\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \cos A=-\frac{1}{2}\ \ ,\ \ \cos B=\frac{\sqrt{73}}{10}\ \ ,\ \ \cos C=\frac{\sqrt{73}+9}{20}}\end{align*}}$ または
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \cos A=\frac{11}{14}\ \ ,\ \ \cos B=\frac{13}{14}\ \ ,\ \ \cos C=-\frac{1}{2}}\end{align*}}$
となる。
いろいろな解き方があると思いますが、
上の解法が一番考えやすいのではないでしょうか？
(ⅰ)の計算が少し煩雑ではありますが・・・・
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/10(土) 01:07:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .千葉大 2014
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