2014筑波大 数学４

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【解答】

　(１)
　　　円C₁、C₂の中心をそれぞれO₁、O₂とし、O₂から
　　　O₁A₁に下ろした垂線の足をHとすると、
　　　　　　　　O₁O₂＝r₁＋r₂
　　　　　　　　O₁H＝r₁－r₂
　　　なので、△O₁O₂Hに三平方の定理を用いると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A_1A_2=O_2H=\sqrt{(r_1+r_2)^2-(r_1-r_2)^2}=2\sqrt{r_1\ r_2}\end{align*}}$

　　　　　　　　　


　　　同様に考えると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A_1A_3=2\sqrt{r_1\ r_3}\ \ ,\ \ A_2A_3=2\sqrt{r_2\ r_3}\end{align*}}$
　　　であり、A₁A₂＝A₁A₃＋A₂A₃ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt{r_1r_2}=2\sqrt{r_1r_3}+2\sqrt{r_2r_3}\end{align*}}$ ．
　　　これにr₁＝16、r₂＝9を代入すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 24=8\sqrt{r_3}+6\sqrt{r_3}\ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt{r_3}=\frac{12}{7}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ r_3=\frac{144}{49}}\end{align*}}$
　　　を得る。よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ A_1A_2=24\ \ ,\ \ A_1A_3=\frac{96}{7}\ \ ,\ \ A_2A_3=\frac{72}{7}}\end{align*}}$
　　　である。


　(２)
　　　(１)と同様に
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A_nA_{n+1}=2\sqrt{r_n\ r_{n+1}}\end{align*}}$
　　　であり、任意のnに対して
　　　　　　　　A_nA_n+1＝A_nA_n+1＋A_n+1A_n+2 　　……①
　　　が成り立つので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt{r_n\ r_{n+1}}=2\sqrt{r_n\ r_{n+2}}+2\sqrt{r_{n+1}\ r_{n+2}}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{\sqrt{r_{n+2}}}=\frac{1}{\sqrt{r_{n+1}}}+\frac{1}{\sqrt{r_{n}}}\end{align*}}$　　←両辺÷ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt{r_n\ r_{n+1}\ r_{n+2}}\ (\ne 0)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}}\end{align*}}$

　　　よって、a＝b＝1のとき、任意の自然数nに対し題意の等式は成立する。


　(３)
　　　まず、題意より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_1=\frac{1}{\sqrt{r_1}}=\frac{1}{4}\end{align*}}$

　　　(２)より、a＝b＝1なので、
　　　　　　　　t²＝at＋b　⇔　t²＝t＋1
　　　となり、2解が$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\beta}$ （$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＞$\scriptsize\sf{\beta}$ ）なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\alpha}$ ²＝$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＋1、　$\scriptsize\sf{\beta}$ ²＝$\scriptsize\sf{\beta}$ ＋1　　……②
　　　であり、実際にこの方程式を解くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha=\frac{1+\sqrt5}{2}\ \ ,\ \ \beta=\frac{1-\sqrt5}{2}\end{align*}}$　　……③
　　　また、解と係数の関係より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＋$\scriptsize\sf{\beta}$ ＝1、　$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ ＝－1　　……④

　　　よって、
　　　　　　　　 x₁＝c$\scriptsize\sf{\alpha}$ ²＋d$\scriptsize\sf{\beta}$ ²
　　　　　　⇔　 x₁＝c($\scriptsize\sf{\alpha}$ ＋1)＋d($\scriptsize\sf{\beta}$ ＋1)　　←②より
　　　　　　⇔　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}=c\left(\frac{1+\sqrt5}{2}+1 \right)+d\left(\frac{1-\sqrt5}{2} +1\right)\end{align*}}$　　←③より
　　　　　　⇔　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt5\ \left(c-d \right)+6c+6d-1=0\end{align*}}$
　　　となり、題意より$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt5\end{align*}}$ は無理数、c、dは有理数なので、
　　　　　　　　c－d＝6c＋6d－1＝0
　　　である。これを解くと、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ c=d=\frac{1}{12}}\end{align*}}$
　　　を得る。


　(４)
　　　任意の自然数nに対して
　　　　　　　　12x_n＝$\scriptsize\sf{\alpha}$ ⁿ⁺¹＋$\scriptsize\sf{\beta}$ ⁿ⁺¹　　……(*)
　　　が成り立つことを数学的帰納法で示す。
　　　(ⅰ) n＝1のときは(３)より自明

　　　(ⅱ) n＝2のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 12x_2=\frac{12}{\sqrt{r_2}}=4\end{align*}}$
　　　　　　であり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\alpha}$ ³＋$\scriptsize\sf{\beta}$ ³＝($\scriptsize\sf{\alpha}$ ＋$\scriptsize\sf{\beta}$ )³－3$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ ($\scriptsize\sf{\alpha}$ ＋$\scriptsize\sf{\beta}$ )
　　　　　　　　　　　　　 ＝1³－3･(－1)･1　　←④より
　　　　　　　　　　　　　 ＝4
　　　　　となるので、(*)は成り立つ。

　　　(ⅲ) n＝kとn＝k＋1で(*)が成り立つと仮定する
　　　　　　　　12x_k＝$\scriptsize\sf{\alpha}$ ^k+1＋$\scriptsize\sf{\beta}$ ^k+1
　　　　　　　　12x_k+1＝$\scriptsize\sf{\alpha}$ ^k+2＋$\scriptsize\sf{\beta}$ ^k+2　　……⑤

　　　　　 n＝k＋2のとき、(２)より
　　　　　　　　x_k+2＝x_k+1＋x_k
　　　　　　⇔　12x_k+2＝12x_k+1＋12x_k
　　　　　　　　　　　　　＝($\scriptsize\sf{\alpha}$ ^k+2＋$\scriptsize\sf{\beta}$ ^k+2)＋($\scriptsize\sf{\alpha}$ ^k+1＋$\scriptsize\sf{\beta}$ ^k+1)　　←⑤より
　　　　　　　　　　　　　＝$\scriptsize\sf{\alpha}$ ^k+1($\scriptsize\sf{\alpha}$ ＋1)＋$\scriptsize\sf{\beta}$ ^k+1($\scriptsize\sf{\beta}$ ＋1)
　　　　　　　　　　　　　＝$\scriptsize\sf{\alpha}$ ^k+3＋$\scriptsize\sf{\beta}$ ^k+3　　←②より
　　　　　　となるので、(*)が成り立つ。

　　　(ⅰ)～(ⅲ)より、任意の自然数nに対して(*)が成り立つので、
　　　両辺を12で割ると
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_n=\frac{1}{12}\alpha^{n+1}+\frac{1}{12}\beta^{n+1}\end{align*}}$
　　　となり、題意は示された。

　　　よって、　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_n=\frac{1}{\sqrt{r_n}}\ \ \Leftrightarrow\ \ r_n=\left(\frac{1}{x_n}\right)^2=\underline{\ \frac{144}{\left(\alpha^{n+1}+\beta^{n+1} \right)^2}}\end{align*}}$
　　　を得る。



　　(４)の帰納法は、n＝k、n＝k＋1と2つ仮定するので、
　　初期条件としてn＝1とn＝2の2つを調べる必要があります。　
　　帰納法を用いずに、そのまま隣接3項間の漸化式を解く方法でもOKです。