第６問
xy平面上に楕円
$\small\sf{\begin{align*} \sf C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{9}=1\ \ \left( a\gt\sqrt{13}\right)\end{align*}}$
および双曲線
$\small\sf{\begin{align*} \sf C_2:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1\ \ \left( a\gt 0\right)\end{align*}}$
があり、C1とC2は同一の焦点をもつとする。またC1とC2の交点
$\small\sf{\begin{align*} \sf P\left(2\sqrt{1+\frac{t^2}{b^2}}\ ,\ t\right)\ \ \ (t\gt 0)\end{align*}}$
におけるC1、C2の接線をそれぞれL1、L2とする。
(１) aとbの間に成り立つ関係式を求め、点Pの座標をaを用いて表せ。
(２) L1とL2が直交することを示せ。
(３) $\small{\sf a \gt \sqrt{13}}$ を満たしながら動くとき、点Pの軌跡を図示せよ。
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【解答】
(１)
C1、C2の焦点はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\pm\sqrt{a^2-9}\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ \left(\pm\sqrt{4+b^2}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$
であり、これらが一致するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2-9=4+b^2\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ b^2=a^2-13}\end{align*}}$ ……①
また、点PはC1上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a^2}\cdot 4\left(1+\frac{t^2}{b^2}\right)+\frac{t^2}{9}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 36\left(b^2+t^2\right)+a^2b^2t^2=9a^2b^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t^2=\frac{9b^2(a^2-4)}{36+a^2b^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{9(a^2-13)(a^2-4)}{36+a^2(a^2-13)}\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{9(a^2-13)(a^2-4)}{a^4+13a^2+36}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{9(a^2-13)}{a^2-9}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=3\sqrt{\frac{a^2-13}{a^2-9}}\ \ \ \ \left(\because a>\sqrt{13}\right)\end{align*}}$ ……②
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt{1+\frac{t^2}{b^2}}=2\sqrt{1+\frac{1}{a^2-13}\cdot\frac{9(a^2-13)}{a^2-9}}\end{align*}}$ ←①、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\sqrt{1+\frac{9}{a^2-9}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2a}{\sqrt{a^2-9}}\ \ \ (\because a>0)\end{align*}}$
よって、点Pの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P\left(\frac{2a}{\sqrt{a^2-9}}\ ,\ 3\sqrt{\frac{a^2-13}{a^2-9}}\right)}\end{align*}}$
である。
(３)
P(X，Y)とおくと、(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\frac{2a}{\sqrt{a^2-9}}\ \ ,\ \ Y=3\sqrt{\frac{a^2-13}{a^2-9}}\end{align*}}$ ……③
であり、a＞$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{13}\end{align*}}$ なので、
X＞0、 Y＞0 ……④
また、③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X^2=\frac{4a^2}{a^2-9}\ \ \Leftrightarrow\ \ (X^2-4)a^2=9X^2\ \ \Leftrightarrow\ \ a^2=\frac{9X^2}{X^2-4}\end{align*}}$ ……⑤
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y^2=\frac{9(a^2-13)}{a^2-9}\ \ \Leftrightarrow\ \ (Y^2-9)a^2=9(Y^2-13)\ \ \Leftrightarrow\ \ a^2=\frac{9(Y^2-13)}{Y^2-9}\end{align*}}$ ……⑥
なので、a2を消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{9X^2}{X^2-4}=\frac{9(Y^2-13)}{Y^2-9}\ \ \Leftrightarrow\ \ X^2(Y^2-9)=(X^2-4)(Y^2-13)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ X^2+Y^2=13\end{align*}}$ ……⑦
また、a＞$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{13}\end{align*}}$ と⑤、⑥より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2=\frac{9X^2}{X^2-4}>13\ \ \Leftrightarrow\ \ 9X^2>13(X^2-4)\ \ ,\ \ X^2-4>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\lt X<\sqrt{13}\end{align*}}$ ……⑧
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2=\frac{9(Y^2-13)}{Y^2-9}>13\ \ \Leftrightarrow\ \ 9(Y^2-13)<13(Y^2-9)\ \ ,\ \ Y^2-9<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt Y<3\end{align*}}$ ……⑨
④、⑦、⑧、⑨より、点Pの軌跡は
右図のようになる。
（弧の端点は含まない。）
条件がいろいろあってややこしいですが、
⑧、⑨の不等式は分母を払う際、符号に注意しましょう！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/06(火) 01:06:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .筑波大 2014
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