第４問
実数x、yに対して
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=2\sin x+\sin y\ \ ,\ \ B=2\cos x+\cos y\end{align*}}$
とおく。
(１) cos(x－y)をA、Bを用いて表せ。
(２) x、yがA＝1を満たしながら変化するとき、Bの最大値と最小値、
およびそのときのsinx、cosxの値を求めよ。
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【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^2=4\sin^2x+4\sin x\sin y+\sin^2y\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B^2=4\cos^2x+4\cos x\cos y+\cos^2y\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^2+B^2=5+4\left(\sin x\sin y+\cos x\cos y\right)\end{align*}}$ ……①
加法定理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos(x-y)=\cos x+\cos y+\sin x\sin y\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{A^2+B^2-5}{4}}\end{align*}}$ ←①より
(２)
A＝1のとき、(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos(x-y)=\frac{B^2-4}{4}\end{align*}}$ ……②
であり、これと －1≦cos(x－y)≦1より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1\leqq\frac{B^2-4}{4}\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq B^2\leqq 8\ \ \Leftrightarrow\ \ -2\sqrt2\leqq B\leqq 2\sqrt2\end{align*}}$
を得る。
よって、Bの最大値は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 2\sqrt2 }\end{align*}}$ であり、このとき②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos (x-y)=1\ \ \Leftrightarrow\ \ x-y=2n\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ y=x-2n\pi\end{align*}}$ （n自然数）
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=2\sin x+\sin(x-2n\pi)=3\sin x\ \ \Leftrightarrow\ \ \sin x=\frac{A}{3}=\underline{\ \frac{1}{3}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B=2\cos x+\cos(x-2n\pi)=3\cos x\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos x=\frac{B}{3}=\underline{\ \frac{2\sqrt2}{3}}\end{align*}}$
同様に計算すると、Bの最小値は$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ -2\sqrt2 }\end{align*}}$ であり、このとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \sin x=\frac{1}{3}\ \ ,\ \ \cos x=-\frac{2\sqrt2}{3}}\end{align*}}$
となる。
sinx、siny、cosx、cosyと4つあってヤヤコシイでしょうが、
(２)は(１)の結果を上手く使ってください。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/27(土) 01:10:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 文系 2014
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