第６問
以下の問いに答えよ。
(１) nを自然数、aを正の定数として、
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left(n+1\right)\left\{\log\left(a+x\right)-\log\left(n+1\right) \right\}-n\left(\log a-\log n\right)-\log x\end{align*}}$
とおく。x＞0における関数f(x)の極値を求めよ。ただし、対数は
自然対数とする。
(２) nが2以上の自然数のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{k+1}{k}>\left(n+1\right)^{\frac{1}{n}}\end{align*}}$
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【解答】
(１)
f(x)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{n+1}{a+x}-\frac{1}{x}=\frac{nx-a}{\left(a+x\right)x}\end{align*}}$
となるので、x＞0における増減は次のようになる。
よって、極小値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(\frac{a}{n}\right)=\left(n+1\right)\left\{\log\left(a+\frac{a}{n}\right)-\log\left(n+1\right) \right\}-n\left(\log a-\log n\right)-\log\frac{a}{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(n+1\right)\log\frac{an+a}{n(n+1)}-n\log\frac{a}{n}-\log\frac{a}{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(n+1\right)\log\frac{a}{n}-(n+1)\log\frac{a}{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 0}\end{align*}}$
である。
(２)
(１)より、x＞0に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left(n+1\right)\log\frac{a+x}{n+1}-n\log\frac{a}{n}-\log x\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log\frac{a+x}{n+1}\geqq \frac{1}{n+1}\log\left(\frac{a}{n}\right)^nx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log\frac{a+x}{n+1}\geqq \log\left\{\left(\frac{a}{n}\right)^nx\right\}^{\frac{1}{n+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{a+x}{n+1}\geqq \left\{\left(\frac{a}{n}\right)^nx\right\}^{\frac{1}{n+1}}\ \ \ \ (\because e>1)\end{align*}}$ ……(*)
n≧2の任意の自然数に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{k+1}{k}>\left(n+1\right)^{\frac{1}{n}}\end{align*}}$ ……(A)
が成り立つことを数学的帰納法で示す。
(ⅰ)n＝2のとき
左辺－右辺
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sum_{k=1}^2\frac{k+1}{k}-\left(2+1\right)^{\frac{1}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(\frac{2}{1}+\frac{3}{2}\right)-\sqrt3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{7}{4}-\sqrt3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\frac{49}{16}}-\sqrt{\frac{48}{16}}>0\end{align*}}$
となるので、(A)は成り立つ。
(ⅱ)n＝Nのとき(A)が成立すると仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{N}\sum_{k=1}^N\frac{k+1}{k}>\left(N+1\right)^{\frac{1}{N}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sum_{k=1}^N\frac{k+1}{k}>N\left(N+1\right)^{\frac{1}{N}}\end{align*}}$ ……①
n＝N＋1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{N+1}\sum_{k=1}^{N+1}\frac{k+1}{k}-\left(N+2\right)^{\frac{1}{N+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{N+1}\left\{\left(\sum_{k=1}^{N}\frac{k+1}{k}\right)+\frac{N+2}{N+1}\right\}-\left(N+2\right)^{\frac{1}{N+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf >\frac{1}{N+1}\left\{N\left(N+1\right)^{\frac{1}{N}}+\frac{N+2}{N+1}\right\}-\left(N+2\right)^{\frac{1}{N+1}}\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \geqq\left[\left\{\frac{N\left(N+1\right)^{\frac{1}{N}}}{N}\right\}^N\cdot\frac{N+2}{N+1}\right]^{\frac{1}{N+1}}-\left(N+2\right)^{\frac{1}{N+1}}\end{align*}}$ ←(*)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(N+2\right)^{\frac{1}{N+1}}-\left(N+2\right)^{\frac{1}{N+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{N+1}\sum_{k=1}^{N+1}\frac{k+1}{k}>\left(N+2\right)^{\frac{1}{N+1}}\end{align*}}$
となるので、n＝N＋1のときも(A)は成り立つ。
以上より、n≧2の任意の自然数に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{k+1}{k}>\left(n+1\right)^{\frac{1}{n}}\end{align*}}$
が成り立つことが示された。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
(*)に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue} a=N\left(N+1\right)^{\frac{1}{N}}\ \ ,\ \ x=\frac{N+2}{N+1}\ (>0)\ \ ,\ \ n=N}\end{align*}}$
を代入して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\frac{1}{N+1}\left\{N\left(N+1\right)^{\frac{1}{N}}+\frac{N+2}{N+1}\right\}\geqq\left[\left\{\frac{N\left(N+1\right)^{\frac{1}{N}}}{N}\right\}^N\cdot\frac{N+2}{N+1}\right]^{\frac{1}{N+1}}\end{align*}}$
となることを使っていますが、この問題は難しいでしょうねぇ・・・
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/27(土) 01:06:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2014
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