第５問
整数nに対して
$\small\sf{\begin{align*} \sf I_n=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos\left((2n+1)x \right)}{\sin x}dx\end{align*}}$
とする。
(１) I0を求めよ。
(２) nを正の整数とするとき、In－In-1を求めよ。
(３) I5を求めよ。
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【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_0=\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{\cos x}{\sin x}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{\left(\sin x\right)'}{\sin x}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[\log |\sin x|\bigg]_{\pi/4}^{\pi/2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log 1-\log\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}\log 2}\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_n-I_{n-1}=\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{\cos\left((2n+1)x \right)-\cos\left((2n-1)x \right)}{\sin x}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{-2\sin(2nx)\ \sin x}{\sin x}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2\int_{\pi/4}^{\pi/2} \sin(2nx)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2\left[-\frac{1}{2n}\cos(2nx)\right]_{\pi/4}^{\pi/2} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{n}\left\{\cos(n\pi)-\cos\frac{n\pi}{2}\right\}} \end{align*}}$
(３)
(２)で得た式にn＝1、2、3、4、5を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_1-I_0=\cos\pi-\cos\frac{\pi}{2}=-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_2-I_1=\frac{1}{2}\left(\cos2\pi-\cos\pi\right)=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_3-I_2=\frac{1}{3}\left(\cos 3\pi-\cos\frac{3\pi}{2}\right)=-\frac{1}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_4-I_3=\frac{1}{4}\left(\cos 4\pi-\cos 2\pi\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_5-I_4=\frac{1}{5}\left(\cos5\pi-\cos\frac{5\pi}{2}\right)=-\frac{1}{5}\end{align*}}$
となり、これらを辺々加えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_5-I_0=-1+1-\frac{1}{3}+0-\frac{1}{5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ I_5=I_0-\frac{8}{15}=\underline{\ \frac{1}{2}\log 2-\frac{8}{15}}\end{align*}}$
これはそのまま計算するだけです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/27(土) 01:05:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2014
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