2014東北大 理系数学２

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【解答】

　(１)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AE}=\overrightarrow{\sf CG}=\overrightarrow{\sf OD}=\left(-1\ ,\ 0\ ,\ \sqrt6 \right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CB}=\overrightarrow{\sf OA}=\left(2\ ,\ 0\ ,\ 0\right)\end{align*}}$
　　　なので、点E、G、BおよびMの座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E\left(1\ ,\ 0\ ,\ \sqrt6 \right)\ \ ,\ \ G\left(-1\ ,\ 3\ ,\ \sqrt6 \right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B\left(2\ ,\ 3\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ M\left(2\ ,\ \frac{3}{2}\ ,\ 0 \right)\end{align*}}$
　　　となる。辺DG上の点Nの座標を
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf N\left(-1\ ,\ n\ ,\ \sqrt6 \right)\end{align*}}$
　　　とおくと、条件DN＜GNより、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq n<\frac{3}{2}\end{align*}}$　　……①
　　　また、MN＝4なので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf MN}|^2=3^2+\left(n-\frac{3}{2} \right)^2+\left(\sqrt6\right)^2=4^2\ \ \Leftrightarrow\ \ n=\frac{3}{2}\pm 1\end{align*}}$
　　　であり、これと①よりNの座標は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ N\left(-1\ ,\ \frac{1}{2}\ ,\ \sqrt6\right)}\end{align*}}$
　　　となる。


　(２)
　　　y軸上の点Pの座標をP(0，p，0)とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf EM}=\left(1 \ ,\ \frac{3}{2}\ ,\ -\sqrt6\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf EN}=\left(-1 \ ,\ \frac{1}{2}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf EP}=\left(-1 \ ,\ p\ ,\ -\sqrt6\right)\end{align*}}$
　　　点Pは平面EMN上にあるので、実数s、tを用いて
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf EP}=s\overrightarrow{\sf EM}+t\overrightarrow{\sf EN}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(-1\ ,\ p\ ,\ -\sqrt6 \right)=\left(s-2t\ ,\ \frac{3}{2}s+\frac{1}{2}t\ ,\ -\sqrt6\ s \right)\end{align*}}$
　　　と表すことができる。両辺の成分を比較すると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1=s-2t\end{align*}}$　　かつ　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}t\end{align*}}$　　かつ　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\sqrt6=-\sqrt6s\end{align*}}$
　　　となるので、これらを連立させて解くと、
　　　　　　　　s＝t＝1、　p＝2
　　　を得る。よって、点Pの座標は、P(0，2，0)である。


　(３)
　　　(２)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf EM}|^2=1+\frac{9}{4}+6=\frac{37}{4}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf EN}|^2=4+\frac{1}{4}+0=\frac{17}{4}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf EP}|^2=1+p^2+6=11\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf EM}\cdot\overrightarrow{\sf EP}=-1+\frac{3}{2}p+6=8\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf EN}\cdot\overrightarrow{\sf EP}=2+\frac{1}{2}p+0=3\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle EMP=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\sf EM}|^2|\overrightarrow{\sf EP}|^2-\left(\overrightarrow{\sf EM}\cdot\overrightarrow{\sf EP}\right)^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{37}{4}\cdot 11-8^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\sqrt{151}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle ENP=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\sf EN}|^2|\overrightarrow{\sf EP}|^2-\left(\overrightarrow{\sf EN}\cdot\overrightarrow{\sf EP}\right)^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{17}{4}\cdot 11-3^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\sqrt{151}\end{align*}}$
　　　より、切り口の面積Sは
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\triangle EMP+\triangle ENP=\underline{\ \frac{1}{2}\sqrt{151}}\end{align*}}$