第４問
不等式1≦x2＋y2≦4が表すxy平面内の領域をDとする。
Pを円x2＋y2＝1上の点、QとRを円x2＋y2＝4上の異なる2点とし、
三角形PQRは領域Dに含まれているとする。a、bを実数とし、
行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf -b \\ \sf b & \sf a \end{pmatrix}\end{align*}}$ の表す1次変換によりPはP’、QはQ’、RはR’に
移されるとする。このとき、三角形P’Q’R’が領域Dに含まれるための
a、bの必要十分条件を求めよ。ただし、三角形は内部も含めて考える
ものとする。
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【解答】
a＝b＝0のときは、P’、Q’、R’すべてが原点Oと一致するので
明らかに不適である。以下は、それ以外の場合を考える。
正の数rを 
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\sqrt{a^2+b^2}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\frac{b}{r}\ \ ,\ \ \sin\theta=\frac{b}{r}\end{align*}}$
となるような角$\scriptsize\sf{\theta}$ が存在する。
よって、行列Aは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\sqrt{a^2+b^2}\begin{pmatrix} \sf \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}&\sf -\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \sf \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} & \sf \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =r\begin{pmatrix} \sf \cos\theta&\sf -\sin\theta \\ \sf \sin\theta & \sf \cos\theta \end{pmatrix}\end{align*}}$
と変形できるので、この行列は、原点中心に$\scriptsize\sf{\theta}$ だけ回転した後に、
原点中心にr倍に拡大する変換を表す。
よって、OP＝1、 OQ＝OR＝2 より、
OP’＝rOP＝r、 OQ’＝rOQ＝2r
となり、P’、Q’が領域D内に含まれるためには、
1≦OP’≦2 かつ 1≦OQ’≦2
⇔ 1≦r≦2 かつ 1≦2r≦2
⇔ 1≦r≦2 かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ ≦r≦1
であればよく、これらを同時に満たすのは、r＝1 のときである。
逆に、r＝1のとき、行列Aは原点中心に$\scriptsize\sf{\theta}$ だけ回転させる変換を
表すので、△PQRが領域Dに含まれるとき、△P’Q’R’も領域Dに
含まれることにある。
よって、題意を満たすようなa、bの条件は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\sqrt{a^2+b^2}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a^2+b^2=1 }\end{align*}}$
である。
行列の形をみれば、回転＋拡大を表すことに気づきますよね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/27(土) 01:04:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2014
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