第３問
1、2、3、4、5のそれぞれの数字が書かれた玉が2個ずつ、合計10個ある。
(１) 10個の玉を袋に入れ、よくかき混ぜて2個の玉を取り出す。書かれている
2つの数字の積が10となる確率を求めよ。
(２) 10個の玉を袋に入れ、よくかき混ぜて4個の玉を取り出す。書かれている
4つの数字の積が100となる確率を求めよ。
(３) 10個の玉を袋に入れ、よくかき混ぜて6個の玉を取り出す。1個目から3個
目の玉に書かれている3つの数字の積と、4個目から6個目の玉に書かれて
いる3つの数字の積と等しい確率を求めよ。
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【解答】
(１)
2個の玉を取り出す組合わせは、10C2通りある。
2数の積が10になるのは、2×5のみなので、
2の玉と5の玉を1つずつ取り出せばよい。
よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_2C_1\times _2C_1}{_{10}C_2}=\underline{\ \frac{4}{45}}\end{align*}}$
(２)
4個の玉を取り出す組合わせは、10C4通りある。
4数の積が100になるのは、2×2×5×5 または 1×4×5×5 の
場合なので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_2C_2\times _2C_2+_2C_1\times _2C_1\times _2C_2}{_{10}C_4}=\underline{\ \frac{1}{42}}\end{align*}}$
(３)
まず、1～3個目の玉の組み合わせは、10C3通り、
4～6個目の玉の組み合わせは7C3通りある。
1～3個目の数の積と4～6個目の数の積が等しくなるのは、
次の5つの場合が考えられる。
(ⅰ)1～3個目の数の組み合わせと4～6個目の数の組合わせが
一致する場合、すなわち、□×△×○＝□×△×○ となる場合。
3数□、△、○の選び方は5C3通りあり、それぞれ2つずつあるので
5C3×23＝80通り
(ⅱ)1～3個目･･･2×2×3 4～6個目･･･1×4×3
このような組合わせは、(2C2×2C1)×(2C1×2C1×1)＝8通り
(ⅲ)1～3個目･･･2×2×5 4～6個目･･･1×4×5
(ⅳ)1～3個目･･･1×4×3 4～6個目･･･2×2×3
(ⅴ)1～3個目･･･1×4×5 4～6個目･･･2×2×5
(ⅲ)～(ⅴ)も(ⅱ)と同様にそれぞれ8通りずつ
以上より、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{80+8\times 4}{_{10}C_3\times _7C_3}=\underline{\ \frac{2}{75}}\end{align*}}$
(３)は少し難しいかもしれませんね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/27(土) 01:03:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2014
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