第１問
$\small\sf{\begin{align*} \sf x=t+\frac{1}{3t}\ \ \ \ \left(0\lt t\leqq\frac{1}{2} \right)\end{align*}}$ とする。
(１) xのとり得る値の範囲を求めよ。
(２) xの方程式x2＋ax＋b＝0が(１)の範囲に少なくとも1つの解をもつ
ような点(a，b)の存在範囲を図示せよ。
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【解答】
(１)
与式をtで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{dt}=1-\frac{1}{3t^2}=\frac{3t^2-1}{3t^2}<0\ \ \ \left(\because 0\lt t\leqq\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
となるので、xは単調に減少する。
t＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{7}{6}\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow +0}\ x=\lim_{t\rightarrow +0}\left(t+ \frac{1}{3t}\right)=+\infty\end{align*}}$
なので、xのとり得る値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{7}{6}\leqq x}\end{align*}}$
である。
(２)
方程式x2＋ax＋b＝0 ……① の左辺をf(x)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left(x+\frac{a}{2} \right)^2+b-\frac{a^2}{4}\end{align*}}$
(ⅰ) ①が(１)の範囲に2つの実数解（重解も含む）をもつ場合
y＝f(x)のグラフが右図のようになればよい。
・①の判別式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D=a^2-4b\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ b\leqq \frac{1}{4}a^2\end{align*}}$
・y＝f(x)のグラフの軸
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{a}{2}\geqq \frac{7}{6}\ \ \Leftrightarrow\ \ a\leqq -\frac{7}{3}\end{align*}}$
・ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ \left(\frac{7}{6}\right)=\frac{49}{36}+\frac{7}{6}a+b\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ b\geqq -\frac{7}{6}a-\frac{49}{36}\end{align*}}$
(ⅱ) ①が(１)の範囲にただ1つの実数解をもつ場合
y＝f(x)のグラフが右図のようになればよい。
・ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ \left(\frac{7}{6}\right)\leqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ b\leqq -\frac{7}{6}a-\frac{49}{36}\end{align*}}$
ここで放物線Cおよび直線Lを
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C:\ b=\frac{1}{4}a^2\ \ ,\ \ L:\ b=-\frac{7}{6}a-\frac{49}{36}\end{align*}}$
とおくと、これら2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}a^2=-\frac{7}{6}a-\frac{49}{36}\ \ \Leftrightarrow\ \ a=-\frac{7}{3}\end{align*}}$
となるので、CとLは接する。
よって、題意を満たすような点(a，b)の存在範囲を図示すると、
下図のようになる。（境界線上の点も含む）
特に問題ないと思います。CとLが接するのも有名な話ですよね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/27(土) 01:01:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2014
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