2014北海道大 文系数学１

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【解答】

　(１)
　　　C₁、C₂の2式を連立させると、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -x^2+\frac{3}{2}=\left(x-a\right)^2+a\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4x^2-4ax+2a^2+2a+3=0\end{align*}}$
　　　となり、これが実数解を持たなければよい。
　　　判別式Dを考えると、
　　　　　　　　D/4＝(2a)²－4(2a²＋2a－3)＞0
　　　　　　⇔　a²＋2a－3＝(a＋3)(a－1)＞0
　　　であればよく、a＞0なので、求める条件は、
　　　　　　　　a＞1
　　　である。

　(２)
　　　C₁について、y’＝－2xなので、点P₁における接線L₁の傾きは
　　　－2pである。
　　　一方、C₂について、y’＝2(x－a)なので、接点P₂を(q，(q－a)²＋a)
　　　とおくと、接線L₂の方程式は、
　　　　　　　　L₂：y－{(q－a)²＋a}＝2(q－a)(x－q)
　　　となる。
　　　ここで、L₁//L₂より
　　　　　　　　－2p＝2(q－a)　⇔　q＝a－p
　　　となるので、接点P₂の座標は、(a－p，p²＋a)となる。
　　　また、接線L₂の方程式は、
　　　　　　　　y－(p²＋a)＝－2p(x－a＋p)
　　　　　　⇔　y＝－2px－p²＋2ap＋a
　　　となる。

　(３)
　　　(２)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_1P_2}=\left(a-2p\ ,\ 2p^2+a- \frac{3}{2}\right)\end{align*}}$
　　　であり、L₁の傾きは－2pなので、L₁の方向ベクトルは
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf u_1}=\left(1\ ,\ -2p \right)\end{align*}}$
　　　と表すことができる。
　　　P₁P₂⊥L₁より、内積を考えると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_1P_2}\cdot \overrightarrow{\sf u_1}=a-2p-2p\left(2p^2+a- \frac{3}{2}\right)=0\end{align*}}$
　　　　　　⇔　4p³＋(2a－1)p－a＝0
　　　　　　⇔　(2p－1)(2p²＋p＋a)＝0　　……①
　　　となり、(１)よりa＞1なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2p^2+p+a=2\left(p+\frac{1}{4}\right)^2+a-\frac{1}{8}>0\end{align*}}$ .
　　　よって、①を満たすのは　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p=\frac{1}{2}}\end{align*}}$
　　　のときである。




　　(３)は、傾きの積＝－1 でやろうとすると、座標軸に平行な場合と
　　平行でない場合を分けて考える必要があります。