第５問
$\small\sf{\begin{align*} \sf f (x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{3}}|\sin \theta|\ d\theta\end{align*}}$ とおく。
(１) f’(x)を求めよ。
(２) $\small\sf{0\leqq x\leqq\pi}$ におけるf(x)の最大値と最小値、およびそのときの
xを求めよ。
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【解答】
(１)
関数g($\scriptsize\sf{\theta}$ )＝|sin$\scriptsize\sf{\theta}$ |の原始関数をG($\scriptsize\sf{\theta}$ )とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{3}}g\ (\theta)\ d\theta=\bigg[G\ (\theta)\bigg]_x^{x+\frac{\pi}{3}}=G\left( x+\frac{\pi}{3}\right)-G(x)\end{align*}}$
なので、両辺をxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=G\ '\left( x+\frac{\pi}{3}\right)-G\ '(x)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =g\left( x+\frac{\pi}{3}\right)-g(x)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \left|\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\right|-\left|\sin x\right|}\end{align*}}$
(２)
(ⅰ) 0≦x≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2\pi}{3}\end{align*}}$ のとき
積分区間内で常にsin$\scriptsize\sf{\theta}$ ≧0となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{3}}\sin \theta\ d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[-\cos\theta\bigg]_x^{x+\frac{\pi}{3}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\sin\frac{\pi}{6}\end{align*}}$ ←和・積の公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\end{align*}}$
これらより、この範囲におけるf(x)の増減は次のようになる。
(ⅱ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2\pi}{3}\end{align*}}$ ≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ のとき
x≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲でsin$\scriptsize\sf{\theta}$ ≧0
$\scriptsize\sf{\pi}$ ≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦x＋$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$ の範囲でsin$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦0
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\int_x^{\pi}\sin \theta\ d\theta+\int_{\pi}{x+\frac{\pi}{3}}\left(-\sin \theta\right)\ d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[-\cos\theta\bigg]_x^{\pi}+\bigg[\cos\theta\bigg]_{\pi}^{x+\frac{\pi}{3}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos x+2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\cos\frac{\pi}{6}+2\end{align*}}$ ←和・積の公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt3\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=-\sqrt3\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\end{align*}}$
これらより、この範囲におけるf(x)の増減は次のようになる。
(ⅰ)、(ⅱ)より、0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ においてf(x)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{\pi}{3}\end{align*}}$ のとき最大値1
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{5\pi}{6}\end{align*}}$ のとき最小値2－$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$
をとる。
和積の公式を用いるとキレイですが、覚えてますか？
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/02(金) 01:05:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 理系 2014
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