第３問
逆行列をもつ2次の正方行列A1、A2、A3、…が、関係式
An+1An＝An＋2E （n＝1，2，3，…）
をみたすとする。さらにA1＋Eは逆行列をもつとする。ここでEは
2次の単位行列とする。
(１) すべての自然数nに対してAn＋Eは逆行列をもち、
(An+1＋E)-1＝$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ An(An＋E)-1
が成立することを示せ。
(２) Bn＝(2E－An)(An＋E)-1により、行列Bnを定める。Bn+1とBn
との間に成立する関係式を求め、BnをB1とnを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A_{n+1}A_n=A_n+2E\end{align*}}$ ……①
(１)
与式の両辺にAnを加えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A_{n+1}A_n+A_n=2A_n+2E\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(A_{n+1}+E\right)A_n=2\left(A_n+E\right)\end{align*}}$ ……②
と変形できる。
(ⅰ)n＝1のとき、②は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(A_{2}+E\right)A_1=2\left(A_1+E\right)\end{align*}}$ ……③
となり、仮定より、A1＋2Eの逆行列が存在するので、
③の両辺に右からかけると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(A_{2}+E\right)A_1\left(A_1+E\right)^{-1}=2\left(A_1+E\right)\left(A_1+E\right)^{-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(A_{2}+E\right)\cdot\frac{1}{2}A_1\left(A_1+E\right)^{-1}=E\end{align*}}$
となるので、A2＋Eの逆行列が存在し、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(A_{2}+E\right)^{-1}=\frac{1}{2}A_1\left(A_1+E\right)^{-1}\end{align*}}$
である。
(ⅱ)n＝kのとき、Ak＋Eの逆行列が存在すると仮定する。
まず、②は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(A_{k+1}+E\right)A_k=2\left(A_k+E\right)\end{align*}}$ ……④
となり、④の両辺に右からAk＋Eの逆行列をかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(A_{k+1}+E\right)A_k\left(A_k+E\right)^{-1}=2\left(A_k+E\right)\left(A_k+E\right)^{-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(A_{k+1}+E\right)\cdot\frac{1}{2}A_k\left(A_k+E\right)^{-1}=E\end{align*}}$
となるので、Ak+1＋Eの逆行列が存在し、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(A_{k+1}+E\right)^{-1}=\frac{1}{2}A_k\left(A_k+E\right)^{-1}\end{align*}}$
を満たす。
以上より、すべての自然数nに対してAn＋Eは逆行列をもち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(A_{n+1}+E\right)^{-1}=\frac{1}{2}A_n\left(A_n+E\right)^{-1}\end{align*}}$ ……⑤
が成立する。
(２)
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B_n=\left(2E-A_n\right)\left(A_n+E\right)^{-1}\end{align*}}$ ……⑥
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B_{n+1}=\left(2E-A_{n+1}\right)\left(A_{n+1}+E\right)^{-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(2E-A_{n+1}\right)\cdot\frac{1}{2}A_n\left(A_{n}+E\right)^{-1}\end{align*}}$ ←⑤より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\left(A_{n+1}A_n-2A_n\right)\left(A_{n}+E\right)^{-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\left\{\left(A_n+2E\right)-2A_n\right\}\left(A_{n}+E\right)^{-1}\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\left(2E-A_n\right)\left(A_{n}+E\right)^{-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -\frac{1}{2}\ B_n}\end{align*}}$ ←⑥より
よって、n≧2のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B_n=-\frac{1}{2}B_{n-1}=\left(-\frac{1}{2} \right)^2B_{n-2}=\left(-\frac{1}{2} \right)^3B_{n-3}=\ldots\ldots=\underline{\ \left(-\frac{1}{2} \right)^{n-1}B_{1}}\end{align*}}$
これは、n＝1のときも成り立つ。
逆行列の定義は大丈夫ですか？
AB＝E と変形できれば、BはAの逆行列です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/02(金) 01:03:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 理系 2014
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
