第２問
四面体OABCは、OA＝OB＝OC＝1、∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°
をみたす。辺OA上の点Pと辺OB上の点QをOP＝p、OQ＝q、pq＝$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ と
なるようにとる。p＋q＝tとし、△CPQの面積をSとする。
(１) tのとり得る値の範囲を求めよ。
(２) Sをtで表せ。
(３) Sの最小値、およびそのときのp、qを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
P、Qはそれぞれ辺OA、OB上の点なので、
0≦p≦1、 0≦q≦1 ……①
であり、題意より
p＋q＝t、 pq＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ ……②
なので、p、qはXについての方程式
2X2－2tX＋1＝0 ……③
の2解である。
①より、③が0≦X≦1の範囲に2つの実数解を持てばよい。
・③の判別式をDとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D/4=t^2-2\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ t\leqq -\sqrt2\ ,\ \sqrt2\leqq t\end{align*}}$
・③の左辺をf(X)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (X)=2\left(X-\frac{t}{2}\right)^2+1-\frac{t^2}{2}\end{align*}}$
なので、軸の位置を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq \frac{t}{2}\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq t\leqq 2\end{align*}}$
・f(1)＝3－2t≧0 ⇔ t≦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$
・f(0)＝1≧0は常に成り立つ。
これらを同時に満たせばよいので、求めるtの値の範囲は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \sqrt2\leqq t\leqq \frac{3}{2}}\end{align*}}$
である。
(２)
xyz空間内に4点
O(0，0，0)、A(1，0，0)、B(0，1，0)、C(0，0，1)
をとると、与えられた条件
OA＝OB＝OC＝1、∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°
を満たすことになる。
さらに、P(p，0，0)、Q(0，q，0)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CP}=\left(p\ ,\ 0\ ,\ -1 \right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf CQ}=\left(0\ ,\ q\ ,\ -1 \right)\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\sf CP}|^2|\overrightarrow{\sf CQ}|^2-\left(\overrightarrow{\sf CP}\cdot\overrightarrow{\sf CQ}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{\left(p^2+1 \right)\left(q^2+1 \right)-1^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{p^2q^2+p^2+q^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{(pq)^2+(p+q)^2-2pq}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}\sqrt{t^2-\frac{3}{4}}}\end{align*}}$ ←②より
(３)
(１)で求めた範囲において、Ｓは単調に増加するので、
t＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ のときSは最小となり、その値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{min}=\frac{1}{2}\sqrt{\left(\sqrt2\right)^2-\frac{3}{4}}=\underline{\ \frac{1}{4}\sqrt5}\end{align*}}$
である。
このとき③は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2X^2-2\sqrt2\ X+1=\left(\sqrt2\ X-1\right)^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ X=\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p=q=\frac{1}{\sqrt2}}\end{align*}}$
である。
(１)は、②からqを消去して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}t=p+\frac{1}{2p}\ \ \ \ \left(\frac{1}{2}\leqq p\leqq 1\right)}\end{align*}}$
の増減を調べる感じでもOKでしょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/02(金) 01:02:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 理系 2014
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
