第１問
f(x)＝x4－4x3－8x2とする。
(１) 関数f(x)の極大値と極小値、およびそのときのxを求めよ。
(２) 曲線y＝f(x)に2点(a，f(a))と(b，f(b))（a＜b）で接する直線の
方程式を求めよ。
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【解答】
(１)
f(x)の導関数は
f’(x) ＝4x3－12x2－16x＝4x(x＋1)(x－4)
となるので、f(x)の増減は次のようになる。
よって、f(x)は、
x＝0で極大値0
x＝－1で極小値－3
x＝4で極小値－128
をとる。
(２)
求める接線をLとおくと、Lはy軸と平行になることはないので、
y＝mx＋nと表せる。
これとy＝f(x)を連立させると、
x4－4x3－8x2＝mx＋n
⇔ x4－4x3－8x2－mx－n＝0 ……①
また、Lとy＝f(x)の2つの接点のx座標がx＝a，bなので、
①は2つの重解a、bをもち、①の右辺は (x－a)2(x－b)2
と因数分解される。(x－a)2(x－b)2を展開すると
x4－2(a＋b)x3＋(a2＋b2＋4ab)x2－2ab(a＋b)x＋a2b2
となるので、①の左辺と係数を比較すると、
－2(a＋b)＝－4
a2＋b2＋4ab＝(a＋b)2＋2ab＝－8
－2ab(a＋b)＝－m
a2b2＝－n
となり、これらを連立させて解くと、
p＋q＝2、 pq＝－6、 m＝－24、 n＝－36
よって、接線Lの方程式は、
y＝－24x－36
となる。
よくある問題ですね。今年の立命館大でも出題されています。
http://aozemi.blog.fc2.com/blog-entry-1282.html
上の答案は、ほとんどそのままコピペですｗｗｗ
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- 2018/11/02(金) 01:01:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 理系 2014
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