サ t²　　　　シ 1+t²　　　　ス 4+t²　　　　セ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$　　　　ソ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$　　　　

　　タ 0　　　　チ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{24}\end{align*}}$　　　　ツ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{48}\end{align*}}$　　

【解説】

　(1)
　　　f(t)、g(t)　の第1次および第2次導関数はそれぞれ、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(t)=\cos t-t\sin t\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(t)=\sin t+t\cos t\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(t)=-\sin t+\left(-\sin t-t\cos t\right)=-2\sin t-t\cos t\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ ''(t)=\cos t+\left(\cos t-t\sin t\right)=2\cos t-t\sin t\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \{f\ (t)\}^2+\{g\ (t)\}^2=t\cos^2t+t^2\sin^2t=\underline{\ t^2}\end{align*}}$　　……サ

　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \{f\ '(t)\}^2+\{g\ '(t)\}^2\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\cos^2t-2t\sin t\cos t+t^2\sin^2t\right)+\left(\sin^2t-2t\sin t\cos t+t^2\cos^2t\right)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 1+t^2}\end{align*}}$　　……シ

　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \{f\ ''(t)\}^2+\{g\ ''(t)\}^2\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(4\sin^2t+4t\sin t\cos t+t^2\cos^2t\right)+\left(4\cos^2t-4t\sin t\cos t+t^2\sin^2t\right)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 4+t^2}\end{align*}}$　　……ス

　　　また、シの両辺をtで微分すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2f\ '(t)\ f\ ''(t)+2g\ '(t)\ g\ ''(t)=2t\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{f\ '(t)\ f\ ''(t)+g\ '(t)\ g\ ''(t)}{\sqrt{\{f\ '(t)\}^2+\{g\ '(t)\}^2}\sqrt{\{f\ ''(t)\}^2+\{g\ ''(t)\}^2}}=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}\sqrt{4+t^2}}\end{align*}}$　　……①
　　　であり、これが最大になるのは、t＞0のときと考えられる。
　　　よって、①はさらに
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{t}{\sqrt{t^4+4+5t^2}}=\frac{1}{\sqrt{t^2+\frac{4}{t^2}+5}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \leqq \frac{1}{\sqrt{2\sqrt{t^2\cdot\frac{4}{t^2}}+5}}\end{align*}}$　　←t²＞0より相加・相乗
　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\end{align*}}$
　　　となる。等号成立は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2=\frac{4}{t^2}\ \ \Leftrightarrow\ \ t^4=4\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\sqrt2\ \ (>0)\end{align*}}$
　　　なので、①は、t=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \sqrt2}\end{align*}}$ のとき、最大値 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{3}}\end{align*}}$ をとる。　……セソ


　(2)
　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi/2}f\ (t)\ g\ '(t)\ dt+\int_0^{\pi/2}f\ '(t)\ g\ (t)\ dt\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi/2}\left\{f\ (t)\ g\ '(t)+f\ '(t)\ g\ (t)\right\}\ dt\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi/2}\left\{f\ (t)\ g\ (t)\right\}'\ dt\end{align*}}$　　←積の微分
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[f\ (t)\ g\ (t)\bigg]_0^{\pi/2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[t^2\sin t\cos t\bigg]_0^{\pi/2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 0}\end{align*}}$　　……タ

　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi/2}f\ (t)\ g\ '(t)\ dt-\int_0^{\pi/2}f\ '(t)\ g\ (t)\ dt\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi/2}\left\{t\cos t\left( \sin t+t\cos t\right)-t\sin t\left(\cos t-t\sin t \right)\right\}\ dt\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi/2}\left( t^2\sin^2 t+t^2\cos^2 t\right)dt\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi/2}\ t^2\ dt\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[\frac{1}{3}t^3\bigg]_0^{\pi/2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi}{24}}\end{align*}}$　　……チ

　　　(タ+チ)÷2より
　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi/2}f\ (t)\ g\ '(t)\ dt=\underline{\ \frac{\pi}{48}}\end{align*}}$　　……ツ




　　まぁそのまま計算するだけなんですが、細かい部分でミスしないように！