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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014立命館大 理系(2月2日) 数学3



第3問

  Eを2次の単位行列とする、

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf P=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf -\sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$ とする。
        P3= テ  、P+P2+P3+P4+P5= ト 
    である。自然数nに対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_n}{y_n}\end{align*}}$ を次のように定める。

        $\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_1}{y_1}=\binom{1}{0}\ \ ,\ \ \binom{x_n}{y_n}=\binom{x_{n-1}}{y_{n-1}}+P^{n-1}\binom{1}{0}\ \ \ \ (n\geqq 2)\end{align*}}$
    このとき、
        図09図08
    である。(注: ヒ  には行列ではなくrとnを用いた式を入れること。)
    数列[un}、{vn}がともに収束するのは、rが0<r< フ  を満たすとき
    であり、このとき、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty} u_n\end{align*}}$ = ヘ   、 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty} v_n\end{align*}}$ = ホ 
    である。




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