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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014京都薬科大 数学3



第3問
  
  △ABCにおいて、OA=1、OB=2、∠AOB=$\small\sf{\theta}$ とする。∠AOBの
  二等分線と辺ABとの交点をCとする。
  次の    にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ。ただし、
   ク  サ  には整数を記入しなさい。また、分数形で解答する
  場合は、既約分数にしなさい。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を用いて表すと、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ = ア  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ + イ  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
    となる。

 (2) 直線OC上に点Pをとり、さらに点Pが辺ABの垂直二等分線上にある
    とき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ およびcos$\small\sf{\theta}$ を用いて表すと、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ = ウ  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ + エ  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
    となる。このとき、OC:CP=3:1となるならば、cos$\small\sf{\theta}$ = オ  である。

 (3) 辺OB上に点DをOD:DB=1:3となるようにとる。線分ADと線分OCの
    交点をQとし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf \ OQ}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を用いて表すと、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf \ OQ}\end{align*}}$ = カ  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ + キ  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
    となる。このとき、△OAQ、△QAC、△OQDおよび四角形QCBDの面積
    をそれぞれS1、S2、S3、S4とすると、S1:S2:S3:S4= ク  ケ 
    :  コ  サ  となる。




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