ア －6　　　　イ 1　　　　ウ 2　　　　エ 2　　　　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt{n+1}-2\sqrt2\end{align*}}$　　　　

　　カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt{n}-2\end{align*}}$　　　　キ 2　　　　ク 1　　　　ケ 198　　　　コ 180　　　　


【解説】

　(1)
　　　－6＜－5.2＜－5 より、[－5.2]=－6

　(2)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt1}=1\ \ ,\ \ \frac{1}{\sqrt4}=0.5\end{align*}}$　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1.4^2<2<1.5^2\ \ \Leftrightarrow\ \ 1.4<\sqrt2<1.5\ \ \Leftrightarrow\ \ 0.66<\frac{1}{\sqrt2}<0.72\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1.7^2<3<1.8^2\ \ \Leftrightarrow\ \ 1.7<\sqrt3<1.8\ \ \Leftrightarrow\ \ 0.55<\frac{1}{\sqrt3}<0.59\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1.66<\frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}<1.72\ \ \Leftrightarrow\ \ \left[ \frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}\right]=\underline{\ 1}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2.21<\frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}<2.31\ \ \Leftrightarrow\ \ \left[ \frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}\right]=\underline{\ 2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2.71<\frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}+\frac{1}{\sqrt4}<2.81\ \ \Leftrightarrow\ \ \left[ \frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}+\frac{1}{\sqrt4}\right]=\underline{\ 2}\end{align*}}$　　　　


　(3)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}<\frac{1}{2\sqrt{k}}<\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}\end{align*}}$
　　　の各辺をk=2からk=nまで、それぞれ加え合わせると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=2}^n\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}<\sum_{k=2}^n\frac{1}{2\sqrt{k}}<\sum_{k=2}^n\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}\end{align*}}$　　……①
　　　①の左辺
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=2}^n\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\sum_{k=2}^n\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\sqrt3-\sqrt2 \right)+\left(\sqrt4-\sqrt3 \right)+\ldots +\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{n+1}-\sqrt2\end{align*}}$
　　　①の右辺
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=2}^n\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}=\sum_{k=2}^n\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\sqrt2-\sqrt1 \right)+\left(\sqrt3-\sqrt2 \right)+\ldots +\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1} \right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{n}-1\end{align*}}$
　　　これらより①は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{n+1}-\sqrt2<\sum_{k=2}^n\frac{1}{2\sqrt{k}}<\sqrt{n}-1\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ 2\sqrt{n+1}-2\sqrt2<\sum_{k=2}^n\frac{1}{\sqrt{k}}<2\sqrt{n}-2}\end{align*}}$　　……オカ
　　　と変形でき、各辺に1を加えると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt{n+1}-2\sqrt2+1<\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}<2\sqrt{n}-1\end{align*}}$　　……②
　　　を得る。

　　　ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{n}<\sqrt{n+1}\ \ ,\ \ 1.4<\sqrt2<1.5\end{align*}}$
　　　より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt{n}-2<2\sqrt{n+1}-2\sqrt2+1\end{align*}}$
　　　なので、②は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt{n}-2<\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}<2\sqrt{n}-1\end{align*}}$　　……キク
　　　と変形できる。これにn=10000を代入すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt{10000}-2<\sum_{k=1}^{10000}\frac{1}{\sqrt{k}}<2\sqrt{10000}-1\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 198<\sum_{k=1}^{10000}\frac{1}{\sqrt{k}}<199\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left[\sum_{k=1}^{10000}\frac{1}{\sqrt{k}}\right]=\underline{198}\end{align*}}$　　……ケ


　(4)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}<\frac{1}{2\sqrt{k}}<\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}\end{align*}}$
　　　の各辺をk=100からk=10000まで、それぞれ加え合わせると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=100}^{10000}\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}<\sum_{k=100}^{10000}\frac{1}{2\sqrt{k}}<\sum_{k=100}^{10000}\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}\end{align*}}$　　……③
　　　③の左辺
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\sqrt{101}-\sqrt{100} \right)+\left(\sqrt{102}-\sqrt{101} \right)+\ldots +\left(\sqrt{10001}-\sqrt{10000} \right)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{10001}-10\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf >\sqrt{10000}-10=90\end{align*}}$
　　　③の右辺
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\sqrt{100}-\sqrt{99} \right)+\left(\sqrt{101}-\sqrt{100} \right)+\ldots +\left(\sqrt{10000}-\sqrt{9999} \right)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{10000}-\sqrt{99}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf <100-\sqrt{98}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =100-7\sqrt{2}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf <100-7\times 1.4=90.2\end{align*}}$
　　　これらより③は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 90<\sqrt{10001}-\sqrt{100}<\sum_{k=100}^{10000}\frac{1}{2\sqrt{k}}<\sqrt{10000}-\sqrt{99}<90.2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 180<\sum_{k=100}^{10000}\frac{1}{\sqrt{k}}<180.4\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left[\sum_{k=100}^{10000}\frac{1}{\sqrt{k}}\right]=\underline{\ 180}\end{align*}}$　　……コ





　　細かい部分に気をつけましょう。