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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014京都薬科大 数学4



第4問

  実数xに対して、xを越えない最大整数を[x]で表すとする。たとえば、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf [2]=2\ \ ,\ \ \left[\frac{10}{3}\right]=3\end{align*}}$
  である。次の    のうち、 オ  カ  には式を、その他には
  整数を、解答欄に記入せよ。

 (1) [-5.2]= ア  となる。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \left[ \frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}\right]\end{align*}}$ = イ 
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \left[ \frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}\right]\end{align*}}$ = ウ 
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \left[ \frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}+\frac{1}{\sqrt4}\right]\end{align*}}$ = エ  となる。

 (3) 不等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}<\frac{1}{2\sqrt{k}}<\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}\end{align*}}$
    の各辺をk=2からk=nまで、それぞれ加え合わせると、
         オ  <$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=2}^n\frac{1}{\sqrt{k}}\end{align*}}$ < カ 
    が得られる。これにより、
      キ  ×$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{n}\end{align*}}$ - ク -1<$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}\end{align*}}$ < キ  ×$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{n}\end{align*}}$ - ク 
    となる。よって、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \left[ \frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}+\ldots\ldots+\frac{1}{\sqrt{9999}}+\frac{1}{\sqrt{10000}}\right]\end{align*}}$ = ケ  である。

 (4) 同様にして、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \left[ \frac{1}{\sqrt{100}}+\frac{1}{\sqrt{101}}+\frac{1}{\sqrt{102}}+\ldots\ldots+\frac{1}{\sqrt{9999}}+\frac{1}{\sqrt{10000}}\right]\end{align*}}$ = コ 
    となる。

        $\small\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$


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