ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a+3}{4}\end{align*}}$　　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{a^2-2a+1}{8}\end{align*}}$　　　　ウ －2　　　　エ 4　　　　オ 2　　　　

　　カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{3}x+1\end{align*}}$　　　　キ y=－3x+1　　　　ク log₃2　　　　ケ log₄3　

　　コ 1　　　　　　サ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt[3]4\end{align*}}$　　　　シ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 16^{\frac{1}{5}}\end{align*}}$　　　　ス 15　　　　


【解説】

　(1)
　　　与式を平方完成すると　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=2\left(x- \frac{a+3}{4}\right)^2-\frac{a^2-2a+1}{8}\end{align*}}$
　　　となるので、頂点の座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(\frac{a+3}{4}\ ,\ -\frac{a^2-2a+1}{8}\right)}\end{align*}}$　　　……アイ
　　　である。よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\frac{a+3}{4}\ \ ,\ \ Y=-\frac{a^2-2a+1}{8}\end{align*}}$
　　　からaを消去すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=-\frac{(4X-3)^2-2(4X-3)+1}{8}=-2X^2+4X-2\end{align*}}$
　　　となるので、aの値によらず頂点は放物線
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ y=-2x^2+4x-2}\end{align*}}$　　……ウエオ
　　　上にあることになる。


　(2)
　　　求める直線の傾きをmとする。
　　　直線y=2x+1およびy=mx+1がx軸正方向となす角を
　　　それぞれ$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\beta}$ とおくと、
　　　　　　　　tan$\scriptsize\sf{\alpha}$ =2、　 tan$\scriptsize\sf{\beta}$ =m
　　　であり、
　　　　　　　　|$\scriptsize\sf{\alpha}$ －$\scriptsize\sf{\beta}$ |=45°
　　　なので、加法定理より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan|\alpha-\beta|=\left|\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\right|\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \tan\frac{\pi}{4}=\left|\frac{2-m}{1+2m}\right|\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{2-m}{1+2m}=\pm 1\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ m=\frac{1}{3}\ ,\ -3\end{align*}}$ ．
　　　よって、求める直線の方程式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ y=\frac{1}{3}x+1\ \ ,\ \ y=-3x+1}\end{align*}}$　　……カキ
　　　である。


　(3)
　　　底2＞1より
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{2}{3}<\frac{4}{5}\ \ \Leftrightarrow\ \ 2^0<2^{\frac{2}{3}}<2^{\frac{4}{5}}\ \ \Leftrightarrow\ \ 1<\sqrt[3]4<16^{\frac{1}{5}}\end{align*}}$
　　　2³＜3²において、底3（＞1)の対数をとると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_32^3<\log_33^2\ \ \Leftrightarrow\ \ 3\log_32<2\ \ \Leftrightarrow\ \ \log_32<\frac{2}{3}\end{align*}}$
　　　4²＜3³＜4³において、底4（＞1)の対数をとると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_44^2<\log_43^3<\log_44^3\ \ \Leftrightarrow\ \ 2<3\log_43<3\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{2}{3}<\log_43<1\end{align*}}$

　　　以上より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \log_32<\log_43<1<\sqrt[3]4<16^{\frac{1}{5}}}\end{align*}}$　　……ク～シ


　(4)
　　　2014=19・106より、
　　　　　　7x+19y=2014　⇔　7x=19(106－y)
　　　と変形でき、7と19は互いに素なので、xは19の倍数である。
　　　また、yは自然数なので、
　　　　　　7x+19y≧7x+19　⇔　2014≧7x+19　⇔　x≦285
　　　285以下の19の倍数は、285÷19=15個あるので、
　　　求める(x，y)の組も15個ある。　　……ス
　　　


　　(3)の log₃2とlog₄3の大小比較が難しいかもしれませんね。