チ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\left(a-\frac{1}{a}\right)\end{align*}}$　　　　ツ 3　　　　テ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)\end{align*}}$　　　　ト $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\left(a+\frac{1}{a}\right)\end{align*}}$　

　　ナ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\left(a+\frac{1}{a}\right)\end{align*}}$　　　　ニ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{\sqrt{a^2+1}}\end{align*}}$　　　　ヌ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\end{align*}}$　　　　ネ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}\end{align*}}$

　　ノ －8

【解説】

　(1)
　　　倍角公式を用いると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left(2a-\frac{1}{a}\right)\frac{1+\cos2x}{2}+6\cos x\sin x+\left(\frac{2}{a}-a\right)\frac{1-\cos2x}{2}\end{align*}}$　
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3}{2}\left(a-\frac{1}{a}\right)\cos2x+3\sin2x+\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)}\end{align*}}$
　　　となる。
　　　さらに、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{\left\{\frac{3}{2}\left(a-\frac{1}{a}\right) \right\}^2+3^2}=\frac{3}{2}\sqrt{\left(a+\frac{1}{a}\right)^2}=\frac{3}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)\ (>0)\end{align*}}$
　　　より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin p=\frac{\frac{3}{2}\left(a-\frac{1}{a}\right)}{\frac{3}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)}=\frac{a^2-1}{a^2+1}\ \ ,\ \ \cos p=\frac{3}{\frac{3}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)}=\frac{2a}{a^2+1}\end{align*}}$
　　　となるようなpを用いて
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{3}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(\cos2x \sin p+\sin2x \cos p\right)+\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)\ \sin\left(2x+p\right)+\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)\end{align*}}$
　　　と合成できるので、f(x)の最大値Mおよび最小値mは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M=\frac{3}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)+\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)=\underline{\ 2\left(a+\frac{1}{a}\right)}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=-\frac{3}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)+\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)=\underline{\ -\left(a+\frac{1}{a}\right)}\end{align*}}$
　　　である。
　　　ここで、a＞0より、cosp＞0なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}\lt p<\frac{\pi}{2}\end{align*}}$　　……①



　　　また、p≦2x₁+p≦p+2$\scriptsize\sf{\pi}$ より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2x_1+p=\frac{\pi}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ x_1=\frac{\pi}{4}-\frac{p}{2}\end{align*}}$
　　　であり、①より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt x_1<\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
　　　となるので、cosx₁＞0である。
　　　半角公式より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos ^2x_1=\frac{1+\cos2x_1}{2}=\frac{1+\cos\left(\frac{\pi}{2}-p\right)}{2}=\frac{1+\sin p}{2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos x_1=\sqrt{\frac{1+\sin p}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{a^2-1}{a^2+1}}{2}}=\sqrt{\frac{a^2}{a^2-1}}=\underline{\ \frac{a}{\sqrt{a^2+1}}}\ \ (>0)\end{align*}}$

　　　同様に、p≦2x₂+p≦p+2$\scriptsize\sf{\pi}$ より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2x_2+p=\frac{3}{2}\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ x_2=\frac{3}{4}\pi-\frac{p}{2}\end{align*}}$
　　　であり、①より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\lt x_2<\pi\end{align*}}$
　　　となるので、cosx₂＜0である。
　　　半角公式より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos ^2x_2=\frac{1+\cos2x_2}{2}=\frac{1+\cos\left(\frac{3}{2}\pi-p\right)}{2}=\frac{1-\sin p}{2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos x_2=-\sqrt{\frac{1-\sin p}{2}}=-\sqrt{\frac{1-\frac{a^2-1}{a^2+1}}{2}}=-\sqrt{\frac{1}{a^2-1}}=\underline{\ -\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\ \ (<0)}\end{align*}}$

　　　さらに、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_1-x_2=\left(\frac{\pi}{2}-\frac{p}{2} \right)-\left(\frac{3}{2}\pi-\frac{p}{2}\right)=\underline{\ -\frac{\pi}{2}}\end{align*}}$


　　　a＞0なので、相加相乗平均の関係を用いると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a+\frac{1}{a}\geqq 2\sqrt{a\cdot\frac{1}{a}}=2\end{align*}}$　　……②
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Mm=-2\left(a+\frac{1}{a} \right)^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \leqq -2\cdot 2^2=\underline{\ -8}\end{align*}}$　　←②より





　　符号など細かい部分に気をつけましょう。