コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log p-1\end{align*}}$　　　　サ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{p}{e}\end{align*}}$　　　　シ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log p-k\end{align*}}$　　　　ス $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{p}{e^k}\end{align*}}$　　　　セ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{e-2}{2e}p\end{align*}}$　　　　

　　ソ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{e}\end{align*}}$　　　　タ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{e-2}{2(e-1)}p\end{align*}}$

【解説】

　(1)
　　　Cの導関数は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\ '=\frac{1}{x}\end{align*}}$ なので、点P₀における接線は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\log p=\frac{1}{p}(x-p)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{1}{p}x+log p-1\end{align*}}$
　　　なので、y軸との交点Q₁の座標は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(0, log p-1\right)\end{align*}}$ である。
　　　さらに、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log x=\log p-1\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{p}{e}\end{align*}}$
　　　より、P₁の座標は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{p}{e},\log p-1 \right)\end{align*}}$ である。

　　　同様にして、P_k-1の座標を(x_k-1，y_k-1)とすると、
　　　P_k-1におけるCの接線は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-y_{k-1}=\frac{1}{x_{k-1}}\left(x-x_{k-1} \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{1}{x_{k-1}}x+\log x_{k-1}-1\end{align*}}$
　　　となるので、y軸との交点Q_kの座標は$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(0, log x_{k-1}-1\right)\end{align*}}$ である。
　　　さらに、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log x=\log x_{k-1}-1\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{x_{k-1}}{e}\end{align*}}$
　　　より、P_kの座標は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{x_{k-1}}{e},\log x_{k-1}-1 \right)\end{align*}}$ である。
　　　すなわち、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_k=\frac{1}{e}x_{k-1}\end{align*}}$
　　　なので、数列{x_k}は等比数列をなす。
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_k=\left(\frac{1}{e}\right)^{k-1}x_1=\underline{\ \frac{p}{e^k}}\end{align*}}$　　……ス
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y_k=\log x_k=\log\frac{p}{e^k}=\underline{\ \log p-k}\end{align*}}$　　……シ

　　　S₁は、右図において
　　　　　　　　赤色の台形－青色の長方形－緑色部分
　　　として求めることができるので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\frac{1}{2}p\cdot\left\{\log p+(log p-1)\right\}-\frac{p}{e}(\log p-1)-\int_{\frac{p}{e}}^p\log x\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =p\log p-\frac{1}{2}p-\frac{p}{e}\log p+\frac{p}{e}-\bigg[x\log x-x\bigg]_{\frac{p}{e}}^p\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =p\log p-\frac{1}{2}p-\frac{p}{e}\log p+\frac{p}{e}-p\log p+p+\frac{p}{e}\log\frac{p}{e}-\frac{p}{e}\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}p+\frac{p}{e}\log\frac{1}{e}\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{e-2}{2e}p\ }\end{align*}}$　　……セ

　　同様に、S_kおよびS_k-1の面積は　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_k=\frac{e-2}{2e}x_{k-1}=\frac{e-2}{2e}\cdot\frac{p}{e^k}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{k-1}=\frac{e-2}{2e}\cdot\frac{p}{e^{k-1}}\end{align*}}$
　　となり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{k}=\frac{1}{e}\ S_{k-1}\end{align*}}$　　……ソ
　　より、数列{S_k}は等比数列をなすので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{k}=\left(\frac{1}{e}\right)^{k-1}\ S_{1}=\frac{e-2}{2e}p\left(\frac{1}{e}\right)^{k-1}\end{align*}}$ ．
　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}S_k=\frac{e-2}{2e}p\cdot\lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^k\left(\frac{1}{e}\right)^{n-1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{e-2}{2e}p\cdot\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1-\left(\frac{1}{e}\right)^{k-1}}{1-\frac{1}{e}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{e-2}{2e}p\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{e}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{e-2}{2(e-1)}p}\end{align*}}$　　……タ



　　丁寧にどうぞ。