ア 3t(t－2)x－2t³+3t²　　　　イ a+1　　　　ウ 6a　　　　エ 2a²

　　オ 1　　　　カ a　　　　キ a²(a－1)²(2a－1)　　　　ク 0　　　　ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$

【解説】

　(1)
　　　Cの導関数は、y’=3x²－6x なので、点(t，t³－3t²)における接線は
　　　　　　　　y－(t³－3t²)=(3t²－6t)(x－t)
　　　　　　⇔　y=3t(t－2)x－2t³+3t²．　　……ア
　　　であり、これが点Pを通るので、
　　　　　　　　－3a²=3t(t－2)a－2t³+3t²
　　　　　　⇔　2t³－3(a+1)t²+6at－2a²=0　　……イウエ
　　　この式の左辺がg(t)なので、
　　　　　　　　g(t)=2t³－3(a+1)t²+6at－2a²
　　　　　　　　g’(t)=6t²－6(a+1)t+6a
　　　　　　　　　　　 =6(t－1)(t－a)　　　……オカ
　　　より、
　　　　　　　　g(1)g(a)=(－2a²+3a－1)(－a³+a²)
　　　　　　　　　　　　　 =a²(a－1)²(2a－1)　　……キ

　(2)
　　　3次曲線の場合、異なる接点における接線が一致することはないので、
　　　　　　　　PからCに3本の接線が引ける
　　　　　　⇔　接点が3個
　　　　　　⇔　①が異なる3つの解をもつ
　　　　　　⇔　y=g(t)のグラフがt軸と異なる3点で交わる
　　　　　　⇔　g(t)の極大値と極小値が存在し、その値が異符号である
　　　　　　⇔　g(1)g(a)＜0
　　　なので、求める条件は、(1)より
　　　　　　　　a²(a－1)²(2a－1)＜0
　　　　　　⇔　a＜0、 0＜a＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$　　……クケ



　　(2)の考え方は有名な話ですよね。